Sejam O X Y um sistema de eixos ortogonais e O X Y o sistema de eixos ortogonais obtido pela rotação positiva de ângulo theta dos eixos O X e O Y, onde cos theta=45 e sen theta=35. Uma parábola, nas coordenadas barx e bary, tem foco no ponto F=(125, 165) e vértice no ponto V=(125,-95).
a) Determine a equação da parábola nas coordenadas barx e bary e nas coordenadas x e y.
b) Obtenha o foco, o vértice, a reta focal e a diretriz da parábola nas coordenadas x e y.
c) O ponto P=(1,7), nas coordenadas x e y, pertence à parábola?
d) Faça um esboço da curva no sistema de eixos O X Y, indicando seus elementos e o ponto P.

Passo 1

O enunciado descreve um sistema de eixos (x,y) e outro (bar x,bar y) obtido por rotação positiva de ângulo theta com costheta=tfrac45, sentheta=tfrac35. Na base (bar x,bar y) temos uma parábola com foco em F=(tfrac125,tfrac165) e vértice em V=(tfrac125,-tfrac95). Precisamos:
a) achar a equação na base (bar x,bar y) e em (x,y).
b) obter foco, vértice, eixo focal e diretriz em (x,y).
c) verificar se P=(1,7) pertence à curva.
d) esboçar no plano (x,y).

Passo 2

Na base (bar x,bar y) os pontos F e V têm mesma abscissa bar x=tfrac125, logo o eixo é vertical e a parábola abre para cima. A distância focal é
p=bar yF-bar yV=165-l(-95r)=5
A forma canônica é
(bar x-tfrac125)^2=4pl(bar y-bar yVr) Longrightarrow (bar x-tfrac125)^2=20l(bar y+95r)

Passo 3

A rotação de eixos dá, em sentido inverso, as relações
bar x = xcostheta + ysentheta = 45x+35y, bar y = -,xsentheta + ycostheta = -35x+45y

Passo 4

Substituindo em (bar x-tfrac125)^2=20(bar y+tfrac95) e multiplicando ambos os lados por 25 vem
l(4x+3y-12r)^2 =500l(-3x+4y+9r)
Expandindo e coletando termos obtemos a equação geral em (x,y):
16x^2+24xy+9y^2+1404x-2072y-4356=0

Passo 5

Para foco e vértice em (x,y) usamos a transformação direta
x = bar xcostheta - bar ysentheta, y = bar xsentheta + bar ycostheta
Em F:(tfrac125,tfrac165)
xF = 125cdot45-165cdot35=0, yF = 125cdot35+165cdot45=4
Em V:(tfrac125,-tfrac95) vem
xV = 125cdot45-l(-95r)35=3, yV = 125cdot35+ l(-95r)45=0

Passo 6

O eixo focal em (bar x,bar y) é bar x=tfrac125. Substituindo em bar x=45x+35y
4x+3y=12
A diretriz em (bar x,bar y) é bar y=-tfrac95-p=-tfrac345. Substituindo em bar y=-tfrac35x+tfrac45y obtém-se
-3x+4y=-34 Long<=ftrightarrow 3x-4y=34

Passo 7

Para ver se P=(1,7) está na curva, calculamos
bar xP = 45cdot1+35cdot7=5, bar yP = -35cdot1+45cdot7=5
Na equação (bar x-2,4)^2=20(bar y+1,8) temos
(5-2,4)^2=2,6^2=6,76, 20(5-1,8)=20cdot3,2=64,
como 6,76neq64, P não pertence à parábola.

Passo 8

No plano (x,y) marcamos:
– vértice V=(3,0) e foco F=(0,4);
– eixo focal 4x+3y=12 (reta passando por V e F);
– diretriz 3x-4y=34;
– a parábola abre no sentido de F.
O ponto P=(1,7) fica fora da curva, acima do ramo.

Resposta

(a) Em (bar x,bar y):
(bar x-tfrac125)^2=20l(bar y+tfrac95r)
Em (x,y):
(4x+3y-12)^2 =500(-3x+4y+9) Long<=ftrightarrow 16x^2+24xy+9y^2+1404x-2072y-4356=0
(b) Em (x,y):
foco F=(0,4), vértice V=(3,0), eixo focal 4x+3y=12, diretriz 3x-4y=34.
(c) Não, P=(1,7) não satisfaz a equação da parábola.
(d) Esboço: curva com vértice em (3,0) abrindo em direção a (0,4), reta eixo 4x+3y=12, diretriz 3x-4y=34, e ponto P fora da curva.

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