Considere as retas e e o ponto . Obtenha o centro, os vértices, os vértices imaginários, os focos e os vértices do retângulo de base da hipérbole , supondo que é sua reta focal, é sua reta não-focal e é um dos seus vértices de seu retângulo de base.
Passo 1
O enunciado diz que temos uma hipérbole cujo eixo focal está sobre a reta
e o eixo não-focal (eixo conjugado) está sobre a reta
O ponto é um dos vértices do retângulo de base definido pelos eixos da hipérbole (o “retângulo fundamental”).
Conteúdo: análise de interseção de retas para achar o centro, vetores diretores/unitários, decomposição de para obter a e b, depois cálculo de vértices reais, imaginários, focos e vértices do retângulo.
Passo 2
Centro
Multiplicando a primeira por 3 e a segunda por 4 e somando, obtém-se dá .
Logo
Passo 3
Vetores diretores das retas e seus correspondentes unitários:
– Para ell, um vetor diretor é (4,3), logo
u1=15(4,3)
– Para ell', vetor diretor (3,-4), daí
u2=15(3,-4)
Como P é vértice do retângulo fundamental, CP se escreve
CP=P-C =(2,1)-(1,1)=(1,0) =s1,a,u1 ;+;s2,b,u2,
com s1,s2=pm1.
Escrevendo em componentes e multiplicando por 5:
4,s1,a+3,s2,b=5, 3,s1,a-4,s2,b=0
Da segunda: 3s1a=4s2b. Tomando s1=s2=+1 (encaixa no sinal de CP=(1,0)) e resolvendo:
a=tfrac45, b=tfrac35
Passo 4
Vértices reais (nos quais H corta a reta focal) são