Considere as retas ell: 3 x-4 y=-1 e ell^prime: 4 x+3 y=7 e o ponto P=(2,1). Obtenha o centro, os vértices, os vértices imaginários, os focos e os vértices do retângulo de base da hipérbole H, supondo que ell é sua reta focal, ell^prime é sua reta não-focal e P é um dos seus vértices de seu retângulo de base.

Passo 1

O enunciado diz que temos uma hipérbole H cujo eixo focal está sobre a reta
ell:3x - 4y = -1
e o eixo não-focal (eixo conjugado) está sobre a reta
ell':4x + 3y = 7
O ponto P=(2,1) é um dos vértices do retângulo de base definido pelos eixos da hipérbole (o “retângulo fundamental”).
Conteúdo: análise de interseção de retas para achar o centro, vetores diretores/unitários, decomposição de CP para obter a e b, depois cálculo de vértices reais, imaginários, focos e vértices do retângulo.

Passo 2

Centro
Multiplicando a primeira por 3 e a segunda por 4 e somando, obtém-se .
Logo

Passo 3

Vetores diretores das retas e seus correspondentes unitários:
– Para ell, um vetor diretor é (4,3), logo
u1=15(4,3)
– Para ell', vetor diretor (3,-4), daí
u2=15(3,-4)
Como P é vértice do retângulo fundamental, CP se escreve
CP=P-C =(2,1)-(1,1)=(1,0) =s1,a,u1 ;+;s2,b,u2,
com s1,s2=pm1.
Escrevendo em componentes e multiplicando por 5:
4,s1,a+3,s2,b=5, 3,s1,a-4,s2,b=0
Da segunda: 3s1a=4s2b. Tomando s1=s2=+1 (encaixa no sinal de CP=(1,0)) e resolvendo:
a=tfrac45, b=tfrac35

Passo 4

Vértices reais (nos quais H corta a reta focal) são
Cpm a,u1 =(1,1)pm45,15(4,3) =(1,1)pml(tfrac1625,tfrac1225r)
Logo
V1=l(tfrac4125,tfrac3725r), V2=l(tfrac925,tfrac1325r)
Vértices imaginários (pontos-sede do eixo conjugado) são
Cpm b,u2 =(1,1)pm35,15(3,-4) =(1,1)pml(tfrac925,-tfrac1225r),
ou seja
I1=l(tfrac3425,tfrac1325r), I2=l(tfrac1625,tfrac3725r)

Passo 5

Focos: como c^2=a^2+b^2=(tfrac45)^2+(tfrac35)^2=1, temos c=1.
Então
F1=C+ c,u1 =(1,1)+15(4,3) =l(tfrac95,tfrac85r),
F2=C- c,u1 =(1,1)-15(4,3) =l(tfrac15,tfrac25r)

Passo 6

Vértices do retângulo de base (os quatro cantos) são
Cpm a,u1pm b,u2
Já verificamos um deles é P=(2,1). Os outros três são
(1,1)+l(tfrac1625,tfrac1225r) -l(tfrac925,-tfrac1225r) =l(tfrac3225,tfrac4925r),
(1,1)-l(tfrac1625,tfrac1225r) +l(tfrac925,-tfrac1225r) =l(tfrac1825,tfrac125r),
(1,1)-l(tfrac1625,tfrac1225r) -l(tfrac925,-tfrac1225r) =(0,1)

Resposta

Centro:
C=(1,1)
Vértices reais:
l(tfrac4125,tfrac3725r), l(tfrac925,tfrac1325r)
Vértices imaginários:
l(tfrac3425,tfrac1325r), l(tfrac1625,tfrac3725r)
Focos:
l(tfrac95,tfrac85r), l(tfrac15,tfrac25r)
Vértices do retângulo de base:
(2,1),;l(tfrac3225,tfrac4925r),;l(tfrac1825,tfrac125r),;(0,1)

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