Determine a equação da hipérbole H :
centrada na origem e eixos sobre os eixos coordenados, que passa pelos pontos (3,1) e (9,5);

Passo 1

O enunciado pede a equação de uma hipérbole centrada na origem, com eixos alinhados aos eixos coordenados, que passe pelos pontos (3,1) e (9,5). Para isso, vamos usar a forma canônica
x^2a^2-y^2b^2=1
e determinar a^2 e b^2 impondo que os dois pontos satisfaçam essa equação.

Passo 2

Substituindo (3,1) em
x^2a^2-y^2b^2=1
temos
9a^2-1b^2=1,
e substituindo (9,5) obtemos
81a^2-25b^2=1
Para simplificar, definimos
u = 1a^2, v = 1b^2,
ficando o sistema linear
9u - v = 1, 81u - 25v = 1

Passo 3

Resolvendo o sistema em u,v: multiplicamos a primeira equação por 25,
225u - 25v = 25,
e subtraímos a segunda 81u -25v =1, obtendo
(225u-25v)-(81u-25v)=24 Longrightarrow 144u = 24 Longrightarrow u = tfrac16
Em seguida, de 9u - v =1 segue
v = 9l(tfrac16r)-1 = tfrac32-1 = tfrac12

Passo 4

Como u=1/a^2 e v=1/b^2, temos
a^2 = 1u = 6, b^2 = 1v = 2

Resposta

A equação da hipérbole é
x^26-y^22=1

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