Obtenha a equação, os vértices, os focos, os vértices imaginários e as assíntotas da hipérbole H centrada no ponto C=(1,2), de excentricidade e=2, reta focal paralela ao eixo O Y e d(F, V)=2, onde F é um dos focos de H e V é o vértice de H mais próximo do foco F.

Passo 1

O enunciado pede a hipérbole centrada em C=(1,2) com excentricidade e=2, eixo focal paralelo ao eixo OY (portanto hipérbole vertical) e tal que a distância entre um foco F e o vértice V mais próximo dele seja d(F,V)=2. A forma canônica para hipérbole vertical centrada em (h,k) é
(y-k)^2a^2;-;(x-h)^2b^2;=;1
com focos em l(h,kpm cr), em que c^2=a^2+b^2 e a excentricidade é e=tfracca. Vamos achar a, b e c.

Passo 2

Como e=tfracca=2, temos c=2a. Usando c^2=a^2+b^2
(2a)^2 = a^2 + b^2 Longrightarrow b^2 = 3a^2
A condição d(F,V)=c-a=2 implica
2a - a = 2 Longrightarrow a = 2
Logo c=2a=4 e b^2=3cdot2^2=12.

Passo 3

Substituindo (h,k)=(1,2), a=2 e b^2=12 na forma canônica obtemos a equação
(y-2)^24 ;-;(x-1)^212 ;=;1

Passo 4

Os vértices ao longo do eixo transverse vertical estão em
V1 = l(1,,2+2r) = (1,4), V2 = l(1,,2-2r) = (1,0)
Os focos ficam em
F1 = l(1,,2+4r) = (1,6), F2 = l(1,,2-4r) = (1,-2)

Passo 5

Os vértices imaginários (extremos do eixo conjugado) são
l(hpm b,;kr) ;=; l(1pm2raiz3,;2r)

Passo 6

As assíntotas de uma hipérbole vertical centrada em (h,k) são dados por
y - k = pm ab,(x - h)
Aqui tfracab = tfrac22raiz3 = tfrac1raiz3, logo
y - 2 = pm 1raiz3,(x - 1)

Resposta

Equação: (y-2)^24 - (x-1)^212 =1
Vértices: (1,4) e (1,0).
Focos: (1,6) e (1,-2).
Vértices imaginários: l(1+2raiz3,2r) e l(1-2raiz3,2r).
Assíntotas: y-2 = pm 1raiz3,(x-1)

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