3- Sejam
\mathbf{u}, \mathbf{v} e \mathbf{w} vetores no espaço tridimensional satisfazendo \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} \times \mathbf{w}=1. Qual o valor da expressão (\mathbf{u} \cdot \mathbf{w} \times \mathbf{v})+(\mathbf{w} \cdot \mathbf{u} \times \mathbf{v})-(\mathbf{v} \cdot \mathbf{u} \times \mathbf{w}) ?
c) 1
a) -1
b) -2
d) 2
e) NRA

Passo 1

O enunciado dá a informação
\mathbf{u}\cdot(\mathbf{v}\times\mathbf{w})=1.
Pede-se o valor da expressão
\big(\mathbf{u}\cdot(\mathbf{w}\times\mathbf{v})\big)+\big(\mathbf{w}\cdot(\mathbf{u}\times\mathbf{v})\big)-\big(\mathbf{v}\cdot(\mathbf{u}\times\mathbf{w})\big).
Ou seja, com os dados acima, calcular numericamente essa combinação de produtos mistos.

Passo 2

Conceito útil (mini-aula): o produto misto ou produto escalar triplo de três vetores \mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c} é definido por
\mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times\mathbf{c}).
Intuitivamente, esse número é o determinante formado pelas componentes dos vetores e o volume orientado do paralelepípedo gerado por eles. Duas propriedades-chave que vamos usar:
  1. Invariância por permutações cíclicas:
\mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times\mathbf{c})=\mathbf{b}\cdot(\mathbf{c}\times\mathbf{a})=\mathbf{c}\cdot(\mathbf{a}\times\mathbf{b}).
  1. Se trocar a ordem de dois vetores (isto é, fizer uma permutação ímpar), o sinal muda. Isso vem do fato de que o produto vetorial é anticomutativo:
\mathbf{x}\times\mathbf{y}=-\mathbf{y}\times\mathbf{x},
logo trocar \mathbf{b} e \mathbf{c} em \mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times\mathbf{c}) inverte o sinal:
\mathbf{a}\cdot(\mathbf{c}\times\mathbf{b})=-\mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times\mathbf{c}).

Passo 3

Aplicando a propriedade de anticomutatividade ao primeiro termo da expressão:
\mathbf{u}\cdot(\mathbf{w}\times\mathbf{v}) = -\mathbf{u}\cdot(\mathbf{v}\times\mathbf{w}).
Como o enunciado dá \mathbf{u}\cdot(\mathbf{v}\times\mathbf{w})=1, segue
\mathbf{u}\cdot(\mathbf{w}\times\mathbf{v}) = -1.

Passo 4

Avaliar o segundo termo usando permutação cíclica. Pela propriedade cíclica:
\mathbf{w}\cdot(\mathbf{u}\times\mathbf{v}) = \mathbf{u}\cdot(\mathbf{v}\times\mathbf{w}).
Portanto, com o dado do enunciado,
\mathbf{w}\cdot(\mathbf{u}\times\mathbf{v}) = 1.

Passo 5

Agora o terceiro termo: primeiro calcule \mathbf{v}\cdot(\mathbf{u}\times\mathbf{w}).
Usando anticomutatividade do produto vetorial,
\mathbf{u}\times\mathbf{w} = -\,\mathbf{w}\times\mathbf{u},
então
\mathbf{v}\cdot(\mathbf{u}\times\mathbf{w}) = -\,\mathbf{v}\cdot(\mathbf{w}\times\mathbf{u}).
Pela propriedade cíclica,
\mathbf{v}\cdot(\mathbf{w}\times\mathbf{u}) = \mathbf{u}\cdot(\mathbf{v}\times\mathbf{w}) = 1.
Logo
\mathbf{v}\cdot(\mathbf{u}\times\mathbf{w}) = -1.
Mas no problema esse termo aparece com sinal negativo: -\big(\mathbf{v}\cdot(\mathbf{u}\times\mathbf{w})\big). Substituindo,
- \big(\mathbf{v}\cdot(\mathbf{u}\times\mathbf{w})\big) = -(-1) = 1.

Passo 6

Somar os três resultados parciais:
\mathbf{u}\cdot(\mathbf{w}\times\mathbf{v}) + \mathbf{w}\cdot(\mathbf{u}\times\mathbf{v}) - \mathbf{v}\cdot(\mathbf{u}\times\mathbf{w}) = (-1) + 1 + 1 = 1.

Resposta

c) 1

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