3- Sejam
e
vetores no espaço tridimensional satisfazendo
. Qual o valor da expressão
?
c) 1
a) -1
b) -2
d) 2
e) NRA
c) 1
a) -1
b) -2
d) 2
e) NRA
Passo 1
O enunciado dá a informação
.
Pede-se o valor da expressão
.
Ou seja, com os dados acima, calcular numericamente essa combinação de produtos mistos.
Pede-se o valor da expressão
Ou seja, com os dados acima, calcular numericamente essa combinação de produtos mistos.
Passo 2
Conceito útil (mini-aula): o produto misto ou produto escalar triplo de três vetores
é definido por
Intuitivamente, esse número é o determinante formado pelas componentes dos vetores e o volume orientado do paralelepípedo gerado por eles. Duas propriedades-chave que vamos usar:
- Invariância por permutações cíclicas:
- Se trocar a ordem de dois vetores (isto é, fizer uma permutação ímpar), o sinal muda. Isso vem do fato de que o produto vetorial é anticomutativo:
logo trocar
e
em
inverte o sinal:
Passo 3
Aplicando a propriedade de anticomutatividade ao primeiro termo da expressão:
Como o enunciado dá
, segue
Passo 4
Avaliar o segundo termo usando permutação cíclica. Pela propriedade cíclica:
Portanto, com o dado do enunciado,
Passo 5
Agora o terceiro termo: primeiro calcule
.
Usando anticomutatividade do produto vetorial,
Usando anticomutatividade do produto vetorial,
então
Pela propriedade cíclica,
Logo
Mas no problema esse termo aparece com sinal negativo:
. Substituindo,
Passo 6
Somar os três resultados parciais:
Resposta
c) 1