1- Qual das equações abaixo representa uma esfera centrada no ponto ( -2,1,3 ) tangente ao plano x y ?
(A) x^{2}+y^{2}+z^{2}+4 x-2 y-6 z+5=0
(b) x^{2}+y^{2}+z^{2}+4 x-2 y-6 z+7=0
(c) x^{2}+y^{2}+z^{2}+4 x-2 y-6 z+9=0
(d) x^{2}+y^{2}+z^{2}+4 x-2 y-6 z+1=0
(e) NRA

Passo 1

O enunciado pede: identificar qual das equações dadas representa uma esfera com centro no ponto (-2,1,3) e que é tangente ao plano xy. Informações relevantes fornecidas:
  • Centro da esfera: (-2,1,3).
  • Plano xy: corresponde à equação z=0.
  • As opções (A) a (E) são equações na forma polinomial em x,y,z.

Passo 2

Lembrando a forma padrão da equação de uma esfera: para uma esfera de centro (a,b,c) e raio r vale
(x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}=r^{2}.
Aqui cada letra significa:
  • a,b,c são as coordenadas do centro da esfera;
  • r é o raio (um número não negativo);
  • x,y,z são as variáveis do espaço.

Passo 3

Condição de tangência ao plano xy: o plano xy tem equação z=0. A esfera é tangente a esse plano quando a distância do centro ao plano é igual ao raio r.
Fórmula de distância de um ponto (x_0,y_0,z_0) ao plano z=0 é simplesmente |z_0|. No nosso caso o centro é (-2,1,3), portanto a distância ao plano z=0 é
|3|=3.
Logo o raio necessário para haver tangência é
r=3.

Passo 4

Escrevendo a equação da esfera com centro (-2,1,3) e raio r=3:
(x-(-2))^{2}+(y-1)^{2}+(z-3)^{2}=3^{2}.
Simplificando os sinais:
(x+2)^{2}+(y-1)^{2}+(z-3)^{2}=9.

Passo 5

Vamos expandir os quadrados termo a termo:
(x+2)^{2}=x^{2}+4x+4,
(y-1)^{2}=y^{2}-2y+1,
(z-3)^{2}=z^{2}-6z+9.
Somando tudo:
x^{2}+4x+4 \;+\; y^{2}-2y+1 \;+\; z^{2}-6z+9 \;=\; 9.

Passo 6

Agrupando termos semelhantes no lado esquerdo e simplificando a constante:
constantes somadas: 4+1+9=14. Então
x^{2}+y^{2}+z^{2}+4x-2y-6z+14=9.
Subtraindo 9 de ambos os lados:
x^{2}+y^{2}+z^{2}+4x-2y-6z+5=0.

Passo 7

Comparando com as alternativas dadas, a equação obtida corresponde exatamente à alternativa (A):
x^{2}+y^{2}+z^{2}+4x-2y-6z+5=0.

Resposta

(A)

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