1- Qual das equações abaixo representa uma esfera centrada no ponto (
) tangente ao plano
?
(A)
(b)
(c)
(d)
(e) NRA
(A)
(b)
(c)
(d)
(e) NRA
Passo 1
O enunciado pede: identificar qual das equações dadas representa uma esfera com centro no ponto
e que é tangente ao plano
. Informações relevantes fornecidas:
- Centro da esfera:
. - Plano
: corresponde à equação . - As opções (A) a (E) são equações na forma polinomial em
.
Passo 2
Lembrando a forma padrão da equação de uma esfera: para uma esfera de centro
e raio
vale
Aqui cada letra significa:
-
são as coordenadas do centro da esfera; -
é o raio (um número não negativo); -
são as variáveis do espaço.
Passo 3
Condição de tangência ao plano
: o plano
tem equação
. A esfera é tangente a esse plano quando a distância do centro ao plano é igual ao raio
.
Fórmula de distância de um ponto
ao plano
é simplesmente
. No nosso caso o centro é
, portanto a distância ao plano
é
Logo o raio necessário para haver tangência é
Passo 4
Escrevendo a equação da esfera com centro
e raio
:
Simplificando os sinais:
Passo 5
Vamos expandir os quadrados termo a termo:
Somando tudo:
Passo 6
Agrupando termos semelhantes no lado esquerdo e simplificando a constante:
constantes somadas: . Então
constantes somadas:
Subtraindo
de ambos os lados:
Passo 7
Comparando com as alternativas dadas, a equação obtida corresponde exatamente à alternativa (A):
Resposta
(A)