Considere as retas no espaço \mathbb{R}^{3} parametrizadas por
r_{1}:\left\{\begin{array}{l} x=1+2 t \\\ y=1+t \\\ z=3 \end{array}, \quad t \in \mathbb{R} \quad \text { e } \quad r_{2}:\left\{\begin{array}{l} x=1-2 s \\\ y=1+s \\\ z=-1 \end{array}, \quad s \in \mathbb{R} .\right.\right.
E seja \vec{w} o produto vetorial entre os vetores direção de r_{1} e r_{2}.
Julgue cada umas das afirmações abaixo como VERDADEIRA ou FALSA.
O plano que tem \vec{w} como vetor normal e passa por (1,2,-1) contém ambas as retas.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede (peguei estes dados do enunciado).
  • São dadas duas retas em \mathbb{R}^3\) em forma paramétrica: \[r_{1}:\begin{cases} x=1+2t\\[4pt] y=1+t\\[4pt] z=3 \end{cases},\quad t\in\mathbb{R}e r_{2}:\begin{cases} x=1-2s\\[4pt] y=1+s\\[4pt] z=-1 \end{cases},\quad s\in\mathbb{R}.
  • Foi definido \vec{w}\] como o produto vetorial entre os vetores direção de \(r_{1} e r_{2}.
  • A afirmação a avaliar é: “O plano que tem \vec{w} como vetor normal e passa por (1,2,-1) contém ambas as retas.”
O objetivo: decidir se essa afirmação é VERDADEIRA ou FALSA, mostrando passo a passo.]

Passo 2

Primeiro extraio dos parâmetros os vetores direção das retas (peguei estes vetores das expressões paramétricas acima):
  • Para r_{1}, o vetor direção é \vec{v}_1 = (2,1,0) porque ao variar t o incremento em (x,y,z) é (2,1,0).
  • Para r_{2}, o vetor direção é \vec{v}_2 = (-2,1,0) porque ao variar s o incremento em (x,y,z) é (-2,1,0).
Explicação curta: numa parametrização (x,y,z)=(x_0,y_0,z_0)+t(a,b,c), o vetor direção é (a,b,c). Aqui as componentes com t e s dão \vec{v}_1 e \vec{v}_2.

Passo 3

Agora calculo o produto vetorial \vec{w}=\vec{v}_1\times\vec{v}_2. Lembrete do produto vetorial: para \vec{a}=(a_1,a_2,a_3) e \vec{b}=(b_1,b_2,b_3),
\vec{a}\times\vec{b}=\begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\ a_1 & a_2 & a_3 \\\ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix},
isto é, calcula-se as componentes usando determinantes 2×2 (isso gera um vetor perpendicular a ambos \vec{a} e \vec{b}).
Aplico com \vec{v}_1=(2,1,0) e \vec{v}_2=(-2,1,0):
\vec{w}=\begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\\ 2 & 1 & 0 \\\\ -2 & 1 & 0 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(1\cdot 0-0\cdot 1) - \mathbf{j}(2\cdot 0-0\cdot(-2)) + \mathbf{k}(2\cdot 1-1\cdot(-2)).
Calculando cada termo:
\vec{w} = \mathbf{i}\cdot 0 - \mathbf{j}\cdot 0 + \mathbf{k}\cdot(2+2) = (0,0,4).
Podemos também usar (0,0,1) como vetor normal proporcional (qualquer múltiplo não nulo serve como normal).
Comentário didático: o produto vetorial ser (0,0,4) significa que os dois vetores direção são paralelos ao plano xy (têm componente z nula) e o vetor normal aponta na direção z.

Passo 4

Agora escrevo a equação do plano que tem \vec{w} como vetor normal e passa pelo ponto (1,2,-1) (peguei este ponto do enunciado).
Forma geral: se \vec{n}=(n_1,n_2,n_3) é normal e P_0=(x_0,y_0,z_0) é um ponto do plano, a equação do plano é
\vec{n}\cdot\bigl((x,y,z)-P_0\bigr)=0,
ou seja
n_1(x-x_0)+n_2(y-y_0)+n_3(z-z_0)=0.
Aqui \vec{n}=\vec{w}=(0,0,4) e P_0=(1,2,-1). Substituindo:
0\cdot(x-1)+0\cdot(y-2)+4\cdot(z-(-1))=0.
Isto simplifica para
4(z+1)=0,
ou seja
z=-1.
Interpretação: o plano pedido é exatamente o plano horizontal paralelo ao plano xy que tem coordenada z=-1.

Passo 5

Agora verifico se cada reta pertence ao plano z=-1. Regra prática: uma reta pertence a um plano se, ao substituir as coordenadas paramétricas da reta na equação do plano, a equação é satisfeita para todo valor do parâmetro.
  • Para r_{1} temos z=3 para todo t (peguei esse valor da parametrização de r_1). Substituindo na equação do plano z=-1 3=-1, que é falso. Como a igualdade não vale para nenhum t, a reta r_{1} não está contida no plano.
  • Para r_{2} temos z=-1 para todo s (peguei esse valor da parametrização de r_2). Substituindo na equação do plano z=-1 -1=-1, que é verdadeiro para todo s. Logo a reta r_{2} está contida no plano.

Passo 6

Resumo lógico dos resultados: o plano normal a \vec{w} e passando por (1,2,-1) é o plano z=-1; a reta r_{2} está contida nele, mas a reta r_{1} não está (porque r_{1} tem z=3). Portanto a afirmação de que o plano “contém ambas as retas” não é satisfeita.
Força e ânimo: deu para ver claramente pela componente z — quando uma das retas tem z constante diferente, já dá para descartar a inclusão. Segue tranquilo, esse tipo de verificação é rápida na prova.

Resposta

FALSA

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