Considere os seguintes planos \Pi: x-y-z+1=0 e \Gamma: x+z=0.
Determine se os planos são paralelos ou concorrentes.

Passo 1

O enunciado dá dois planos no espaço:
  • \Pi: x - y - z + 1 = 0.
  • \Gamma: x + z = 0.
A pergunta é: os planos são paralelos ou concorrentes (isto é, intersectam-se)? Vou listar as informações relevantes:
  • As equações dos planos (já acima).
  • Não há outras restrições nem imagens.

Passo 2

Ideia-chave (explicação didática): cada plano em \mathbb{R}^3 pode ser escrito como
a x + b y + c z + d = 0,
e o vetor (a,b,c) é o vetor normal ao plano (perpendicular ao plano). Dois planos são paralelos se e somente se seus vetores normais são proporcionais (um é múltiplo escalar do outro). Se os normais não são proporcionais, os planos não são paralelos e, portanto, em geral se intersectam numa reta (porque duas equações lineares independentes em três incógnitas geram uma família de soluções de dimensão 1).

Passo 3

Encontrar os vetores normais dos planos dados:
  • Para \Pi: os coeficientes de x,y,z são 1,-1,-1. Logo o normal é n_\Pi=(1,-1,-1).
  • Para \Gamma: escrevendo x+0\cdot y+z+0=0, o normal é n_\Gamma=(1,0,1).
Teste de proporcionalidade: suponha que exista k\in\mathbb{R} tal que n_\Pi = k\,n_\Gamma. Isso daria
(1,-1,-1) = k(1,0,1).
Comparando componentes obtemos 1 = k, mas da segunda componente teríamos -1 = k\cdot 0 = 0, o que é impossível. Portanto os normais não são proporcionais.

Passo 4

Conclusão imediata: como os vetores normais não são proporcionais, os planos \Pi e \Gamma não são paralelos. Logo eles são concorrentes — intersectam-se — e a interseção será uma reta.

Passo 5

Agora ensino como achar explicitamente a reta de interseção (útil na prova). Para isso resolvemos o sistema formado pelas duas equações:
\begin{cases} x - y - z + 1 = 0,\\[4pt] x + z = 0. \end{cases}
Da segunda equação vem x = -z. Substituindo na primeira:
(-z) - y - z + 1 = 0 \quad\Rightarrow\quad -2z - y + 1 = 0.
Isolando y obtemos y = 1 - 2z.]

Passo 6

Parametrização da reta: tome t como parâmetro igual a z, isto é, z=t. Então
x = -t,\qquad y = 1 - 2t,\qquad z = t,\qquad t\in\mathbb{R}.
Em forma vetorial, a reta de interseção é
r:\\ (x,y,z) = (0,1,0) + t(-1,-2,1),\qquad t\in\mathbb{R}.
Verificação rápida: para t=0 obtemos o ponto (0,1,0) que satisfaz ambas as equações; e o vetor diretor (-1,-2,1) é ortogonal aos dois normais (pode-se checar fazendo o produto vetorial n_\Pi\times n_\Gamma=( -1,-2,1)), logo é direção válida da reta de interseção.

Resposta

Os planos são concorrentes; intersectam-se na reta r:\\ (x,y,z)=(0,1,0)+t(-1,-2,1),\\ t\in\mathbb{R}.

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