Considere os seguintes planos
e
.
Determine se os planos são paralelos ou concorrentes.
Determine se os planos são paralelos ou concorrentes.
Passo 1
O enunciado dá dois planos no espaço:
-
. -
.
A pergunta é: os planos são paralelos ou concorrentes (isto é, intersectam-se)? Vou listar as informações relevantes:
- As equações dos planos (já acima).
- Não há outras restrições nem imagens.
Passo 2
Ideia-chave (explicação didática): cada plano em
pode ser escrito como
e o vetor
é o vetor normal ao plano (perpendicular ao plano). Dois planos são paralelos se e somente se seus vetores normais são proporcionais (um é múltiplo escalar do outro). Se os normais não são proporcionais, os planos não são paralelos e, portanto, em geral se intersectam numa reta (porque duas equações lineares independentes em três incógnitas geram uma família de soluções de dimensão 1).
Passo 3
Encontrar os vetores normais dos planos dados:
- Para
: os coeficientes de são . Logo o normal é . - Para
: escrevendo , o normal é .
Teste de proporcionalidade: suponha que exista
tal que
. Isso daria
Comparando componentes obtemos
, mas da segunda componente teríamos
, o que é impossível. Portanto os normais não são proporcionais.
Passo 4
Conclusão imediata: como os vetores normais não são proporcionais, os planos
e
não são paralelos. Logo eles são concorrentes — intersectam-se — e a interseção será uma reta.
Passo 5
Agora ensino como achar explicitamente a reta de interseção (útil na prova). Para isso resolvemos o sistema formado pelas duas equações:
Da segunda equação vem
. Substituindo na primeira:
Isolando
obtemos
.]
Passo 6
Parametrização da reta: tome
como parâmetro igual a
, isto é,
. Então
Em forma vetorial, a reta de interseção é
Verificação rápida: para
obtemos o ponto
que satisfaz ambas as equações; e o vetor diretor
é ortogonal aos dois normais (pode-se checar fazendo o produto vetorial
), logo é direção válida da reta de interseção.
Resposta
Os planos são concorrentes; intersectam-se na reta
.