Considere os seguintes planos \Pi: x-y-z+1=0 e \Gamma: x+z=0.
Se forem paralelos determine a distância entre eles, e caso sejam concorrentes determine equações paramétricas para a reta interseção entre eles.

Passo 1

O enunciado nos dá dois planos e pede duas coisas dependendo do caso. Vou listar claramente o que foi informado e o que é pedido:
  • Planos fornecidos:
    • \Pi:\; x - y - z + 1 = 0.
    • \Gamma:\; x + z = 0.
  • O que o enunciado pede:
    • Se os planos são paralelos, determinar a distância entre eles.
    • Se os planos são concorrentes (i.e., se intersectam), determinar equações paramétricas da reta interseção.

Passo 2

Primeiro precisamos saber se os planos são paralelos ou não. Para isso é útil extrair os vetores normais de cada plano (cada plano pode ser escrito na forma ax+by+cz+d=0 e o vetor normal é (a,b,c)).
  • Para \Pi o vetor normal é \mathbf{n}_1=(1,\,-1,\,-1) (peguei isto do coeficiente de x, y, z em \Pi).
  • Para \Gamma o vetor normal é \mathbf{n}_2=(1,\,0,\,1) (peguei isto do coeficiente de x, y, z em \Gamma).
Explicação didática: dois planos são paralelos se e somente se seus vetores normais são múltiplos escalares um do outro (i.e., existe \lambda tal que \mathbf{n}_1=\lambda\mathbf{n}_2). Se não existe tal \lambda, os planos se intersectam numa reta.

Passo 3

Vamos testar se existe \lambda com \mathbf{n}_1=\lambda\mathbf{n}_2.
Escrevendo componente a componente:
1=\lambda\cdot 1,\qquad -1=\lambda\cdot 0,\qquad -1=\lambda\cdot 1.
Da primeira equação vem \lambda=1. Substituindo na segunda teríamos -1=1\cdot 0, o que é falso. Portanto NÃO existe \lambda que satisfaça todas as três igualdades.
Conclusão: os vetores normais não são múltiplos, logo os planos NÃO são paralelos; eles são concorrentes (intersectam-se) e a interseção é uma reta.

Passo 4

Método para encontrar a reta interseção (visão geral didática): a reta interseção é o conjunto de pontos (x,y,z) que satisfazem simultaneamente as duas equações dos planos. Para obter uma forma paramétrica, basta resolver o sistema linear formado pelas duas equações, tomar uma variável como parâmetro e expressar as outras em função desse parâmetro. Outra maneira (útil para interpretar direção) é obter um vetor diretor da reta como o produto vetorial \mathbf{n}_1\times\mathbf{n}_2 dos normais.
Vou aplicar ambos os pontos de vista (resolver por substituição e mostrar o vetor diretor via produto vetorial) para reforçar o entendimento.

Passo 5

Resolver o sistema formado por
\begin{cases} x - y - z + 1 = 0,\\[4pt] x + z = 0. \end{cases}
Da segunda equação temos \;x = -z. Vou tomar z como parâmetro: defina z=t, onde t\in\mathbb{R}.
Substituindo x=-t na primeira equação:
(-t) - y - t + 1 = 0 \quad\Longrightarrow\quad -2t - y + 1 = 0.
Isolando y:
y = 1 - 2t.
Portanto obtemos, em função do parâmetro t,
x = -t,\qquad y = 1 - 2t,\qquad z = t.
Isto já é uma forma paramétrica da reta. Reescrevendo em forma vetorial:
(x,y,z) = (0,1,0) + t(-1,-2,1),
ou seja a reta passa pelo ponto (0,1,0) (quando t=0) e tem vetor diretor (-1,-2,1).]

Passo 6

Explicação alternativa (e verificação): o vetor diretor da reta de interseção pode ser obtido pelo produto vetorial dos normais:
\mathbf{d} = \mathbf{n}_1 \times \mathbf{n}_2.
Vou calcular explicitamente:
\mathbf{n}_1=(1,-1,-1),\qquad \mathbf{n}_2=(1,0,1).
O produto vetorial dá
\mathbf{d} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\\ 1 & -1 & -1 \\\\ 1 & 0 & 1 \end{vmatrix} = \bigl(-1-0,\; -(1+1),\; 0-(-1)\bigr) = (-1,-2,1).
Esse \mathbf{d}=(-1,-2,1) coincide com o vetor diretor que apareceu na solução por substituição, confirmando que a reta tem direção correta.

Passo 7

Verificação de um ponto da reta: para t=0 a paramétrica dá (x,y,z)=(0,1,0). Verifico que esse ponto satisfaz ambos os planos:
  • Em \Pi: 0 - 1 - 0 + 1 = 0.
  • Em \Gamma: 0 + 0 = 0.
    Logo é um ponto legítimo da interseção.
Também posso checar outro valor, por exemplo t=1 (-1,-1,1). Substituindo em \Pi: -1 - (-1) - 1 + 1 = -1+1-1+1=0. Em \Gamma: -1 + 1 = 0. Confere.

Resposta

\displaystyle x=-t,\quad y=1-2t,\quad z=t,\quad t\in\mathbb{R}

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