- Seja
. Obtenha uma equação geral do plano que contém
e é ortogonal ao plano
.
Passo 1
O enunciado pede: obter uma equação geral do plano que contém a reta
e é ortogonal ao plano
.
Informações fornecidas:
- A reta
tem equação paramétrica . Dela podemos extrair: - um ponto que pertence a
: , - o vetor diretor da reta:
.
- um ponto que pertence a
- O plano
tem equação . Dela extraímos o vetor normal: -
.
-
O que precisamos encontrar:
- A equação geral (do tipo
) de um plano tal que: -
contém a reta (logo contém e o vetor diretor está contido em ); -
é ortogonal a .
-
Passo 2
Conceito chave (explicado de forma direta): o plano
tem um vetor normal
. Duas propriedades importantes se traduzem em condições sobre
:
- Como
está contido em , o vetor normal é ortogonal a . Ou seja, Aqui o ponto: produto escalar zero significa ortogonalidade. - Como
é ortogonal a , os normais são ortogonais:
Portanto
deve ser um vetor ortogonal simultaneamente a
e a
.
Passo 3
Método para achar
: o produto vetorial (cross product) de dois vetores fornece um vetor ortogonal a ambos. Se tomarmos
então
será ortogonal tanto a
quanto a
, cumprindo as duas condições. Lembrete da fórmula prática do produto vetorial: para
e
,
Cada componente é uma diferença de produtos das componentes dos vetores.
Passo 4
Aplicando com
e
. Calculo componente a componente:
Agora avalio cada expressão:
- primeira componente:
, - segunda componente:
, - terceira componente:
.
Logo
Passo 5
Verificação rápida (bom hábito): confirmo que
é ortogonal a
e a
:
Perfeito — atende às duas condições.
Passo 6
Agora escrevo a equação do plano
com normal
passando por
. A forma vetorial/escalares é
Substituindo:
Expandindo:
Simplificando:
Passo 7
Checagem final: posso verificar que toda a reta
está no plano substituindo
na equação do plano:
ou seja, a igualdade é satisfeita para todo
, logo a reta está contida no plano.