1. Seja r:(x, y, z)=(1,0,2)+t(4,1,0). Obtenha uma equação geral do plano que contém r e é ortogonal ao plano \alpha: 3 x+y+z=0.

Passo 1

O enunciado pede: obter uma equação geral do plano que contém a reta r e é ortogonal ao plano \alpha.
Informações fornecidas:
  • A reta r tem equação paramétrica \,(x,y,z)=(1,0,2)+t(4,1,0). Dela podemos extrair:
    • um ponto que pertence a r: P_0=(1,0,2),
    • o vetor diretor da reta: \mathbf{v}=(4,1,0).
  • O plano \alpha tem equação \,3x+y+z=0. Dela extraímos o vetor normal:
    • \mathbf{n}_\alpha=(3,1,1).
O que precisamos encontrar:
  • A equação geral (do tipo \,ax+by+cz+d=0) de um plano \beta tal que:
    1. \beta contém a reta r (logo contém P_0 e o vetor diretor \mathbf{v} está contido em \beta);
    2. \beta é ortogonal a \alpha.

Passo 2

Conceito chave (explicado de forma direta): o plano \beta tem um vetor normal \mathbf{n}_\beta. Duas propriedades importantes se traduzem em condições sobre \mathbf{n}_\beta:
  • Como \mathbf{v} está contido em \beta, o vetor normal \mathbf{n}_\beta é ortogonal a \mathbf{v}. Ou seja, \mathbf{n}_\beta\cdot\mathbf{v}=0.Aqui o ponto: produto escalar zero significa ortogonalidade.
  • Como \beta é ortogonal a \alpha, os normais são ortogonais: \mathbf{n}_\beta\cdot\mathbf{n}_\alpha=0.
Portanto \mathbf{n}_\beta deve ser um vetor ortogonal simultaneamente a \mathbf{v} e a \mathbf{n}_\alpha.

Passo 3

Método para achar \mathbf{n}_\beta: o produto vetorial (cross product) de dois vetores fornece um vetor ortogonal a ambos. Se tomarmos
\mathbf{n}_\beta=\mathbf{v}\times\mathbf{n}_\alpha,
então \mathbf{n}_\beta será ortogonal tanto a \mathbf{v} quanto a \mathbf{n}_\alpha, cumprindo as duas condições. Lembrete da fórmula prática do produto vetorial: para \mathbf{u}=(u_1,u_2,u_3) e \mathbf{w}=(w_1,w_2,w_3),
\mathbf{u}\times\mathbf{w}=(u_2w_3-u_3w_2,\; u_3w_1-u_1w_3,\; u_1w_2-u_2w_1).
Cada componente é uma diferença de produtos das componentes dos vetores.

Passo 4

Aplicando com \mathbf{v}=(4,1,0) e \mathbf{n}_\alpha=(3,1,1). Calculo componente a componente:
\mathbf{v}\times\mathbf{n}_\alpha= (1\cdot1-0\cdot1,\; 0\cdot3-4\cdot1,\; 4\cdot1-1\cdot3).
Agora avalio cada expressão:
  • primeira componente: 1\cdot1-0\cdot1=1,
  • segunda componente: 0\cdot3-4\cdot1= -4,
  • terceira componente: 4\cdot1-1\cdot3=4-3=1.
Logo
\mathbf{n}_\beta=(1,-4,1).

Passo 5

Verificação rápida (bom hábito): confirmo que \mathbf{n}_\beta é ortogonal a \mathbf{v} e a \mathbf{n}_\alpha:
\mathbf{n}_\beta\cdot\mathbf{v}=1\cdot4+(-4)\cdot1+1\cdot0=4-4+0=0,
\mathbf{n}_\beta\cdot\mathbf{n}_\alpha=1\cdot3+(-4)\cdot1+1\cdot1=3-4+1=0.
Perfeito — atende às duas condições.

Passo 6

Agora escrevo a equação do plano \beta com normal \mathbf{n}_\beta=(1,-4,1) passando por P_0=(1,0,2). A forma vetorial/escalares é
\mathbf{n}_\beta\cdot\big((x,y,z)-P_0\big)=0.
Substituindo:
(1,-4,1)\cdot(x-1,y-0,z-2)=0.
Expandindo:
1\cdot(x-1)-4\cdot y+1\cdot(z-2)=0.
Simplificando:
x-1-4y+z-2=0 \quad\Rightarrow\quad x-4y+z-3=0.

Passo 7

Checagem final: posso verificar que toda a reta r está no plano substituindo x=1+4t,\;y=t,\;z=2 na equação do plano:
(1+4t)-4(t)+(2)-3 = 1+4t-4t+2-3=0,
ou seja, a igualdade é satisfeita para todo t, logo a reta está contida no plano.

Resposta

x-4y+z=3

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