Q2: Considere as retas em \mathbb{R}^{2} :
\begin{aligned} & {\left[\begin{array}{r} 4 \\\\ -4 \end{array}\right]+\operatorname{span}\left\{\left[\begin{array}{r} -3 \\\\ 1 \end{array}\right]\right\} e} \\\ & \left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} ; 3 x+y=-8\right\} \end{aligned}
Calcule o ponto (x, y) em que estas duas retas se interceptam. O valor da entrada x é:
(A) -6
(2) -5
(C) -4
(D) -3
(E) -2
(F) -1

Passo 1

O enunciado nos dá duas retas em \mathbb{R}^2 e pede o ponto de interseção; especificamente é perguntado o valor da entrada x. Informações fornecidas:
  • Primeira reta, em forma paramétrica: \left[\begin{array}{r}4\\\ -4\end{array}\right]+\operatorname{span}\left\{\left[\begin{array}{r}-3\\\ 1\end{array}\right]\right\}. Ou seja, todos os pontos da forma (x,y)=(4,-4)+t(-3,1) para algum parâmetro t\in\mathbb{R}.
  • Segunda reta, em forma implícita: \{(x,y)\in\mathbb{R}^2;\;3x+y=-8\}.
    O que se pede: calcular o ponto (x,y) onde as duas retas se interceptam e, mais especificamente para a prova, indicar o valor da componente x entre as alternativas dadas.

Passo 2

Vamos escrever explicitamente a parametrização da primeira reta usando um parâmetro t. Tomando t\in\mathbb{R},
x=4-3t,\qquad y=-4+t.
Isto significa que qualquer ponto da primeira reta tem coordenadas dadas por essas duas expressões em termos de t.

Passo 3

Um ponto de interseção deve satisfazer a equação da segunda reta \,3x+y=-8. Substituímos as expressões paramétricas de x e y em \,3x+y:
3x+y = 3(4-3t)+(-4+t).
Agora desenvolvemos essa expressão passo a passo.

Passo 4

Calculemos 3(4-3t)+(-4+t):
3(4-3t)+(-4+t) = 12 -9t -4 + t = 8 -8t.
A condição de interseção exige que isso seja igual a -8, logo obtemos a equação
8-8t = -8.

Passo 5

Resolvendo a equação linear para t:
8-8t=-8 \quad\Rightarrow\quad -8t=-16 \quad\Rightarrow\quad t=2.
Substituímos t=2 nas fórmulas paramétricas para obter as coordenadas do ponto:
x=4-3\cdot 2 = 4-6 = -2, \qquad y=-4+2 = -2.
Como checagem rápida, verificamos na segunda reta: 3x+y=3(-2)+(-2)=-6-2=-8, que confere.

Resposta

(E) -2

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