Determine a distância entre:
P=(1,2,3) e s: \frac{x-3}{2}=\frac{y-1}{4}=\frac{z+2}{6}

Passo 1

O problema pede: determinar a distância entre o ponto P=(1,2,3) e a reta
s:\quad \frac{x-3}{2}=\frac{y-1}{4}=\frac{z+2}{6}.
Informações dadas:
\,P=(1,2,3).
A reta s está na forma simétrica com ponto base (3,1,-2) (quando o parâmetro vale zero) e vetor diretor proporcional a (2,4,6).

Passo 2

Escolha do método (explicação curta e motivação): uma maneira eficiente e padrão para achar a distância entre um ponto e uma reta em \mathbb{R}^3 é usar produto vetorial. Fórmula que vamos usar:
\text{dist}(P,s)=\frac{\|\overrightarrow{AP}\times\vec{v}\|}{\|\vec{v}\|},
onde A é um ponto da reta s, \vec{v} é o vetor diretor de s, \overrightarrow{AP} é o vetor que vai de A até P, e \times é o produto vetorial. Justificativa da fórmula (intuição): \|\overrightarrow{AP}\times\vec{v}\| dá a área do paralelogramo formado por \overrightarrow{AP} e \vec{v}; dividindo essa área pela base \|\vec{v}\| obtemos a altura do paralelogramo, que é exatamente a distância perpendicular do ponto P à reta.

Passo 3

Identificar um ponto A da reta e o vetor diretor \vec{v}.
Da equação simétrica, tomando o parâmetro t=\frac{x-3}{2}=\frac{y-1}{4}=\frac{z+2}{6}, para t=0 temos o ponto
A=(3,1,-2).
O vetor diretor é
\vec{v}=(2,4,6).

Passo 4

Calcular o vetor \overrightarrow{AP} que vai de A até P:
\overrightarrow{AP}=P-A=(1-3,\;2-1,\;3-(-2)) = (-2,\,1,\,5).

Passo 5

Calcular o produto vetorial \overrightarrow{AP}\times\vec{v}. Vou mostrar como calcular com a determinante (regra de Sarrus / determinante 3×3):
\overrightarrow{AP}\times\vec{v}= \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\\ -2 & 1 & 5 \\\\ 2 & 4 & 6 \end{vmatrix}.
Desenvolvendo a determinante:
componente em \mathbf{i}:
1\cdot 6 - 5\cdot 4 = 6-20 = -14.
componente em \mathbf{j} (lembrar do sinal negativo ao desenvolver):
- \big((-2)\cdot 6 - 5\cdot 2\big) = -(-12-10) = 22.
componente em \mathbf{k}:
(-2)\cdot 4 - 1\cdot 2 = -8-2 = -10.
Logo
\overrightarrow{AP}\times\vec{v}=(-14,\;22,\;-10).

Passo 6

Calcular a norma (módulo) do produto vetorial \|\overrightarrow{AP}\times\vec{v}\|:
\|\overrightarrow{AP}\times\vec{v}\|=\sqrt{(-14)^2 + 22^2 + (-10)^2} =\sqrt{196 + 484 + 100}=\sqrt{780}.
Podemos fatorar \sqrt{780}=\sqrt{4\cdot 195}=2\sqrt{195}.
Calcular a norma do vetor diretor \|\vec{v}\|:
\|\vec{v}\|=\sqrt{2^2+4^2+6^2}=\sqrt{4+16+36}=\sqrt{56}=2\sqrt{14}.

Passo 7

Aplicar a fórmula da distância:
\text{dist}(P,s)=\frac{\|\overrightarrow{AP}\times\vec{v}\|}{\|\vec{v}\|} =\frac{2\sqrt{195}}{2\sqrt{14}}=\frac{\sqrt{195}}{\sqrt{14}}.
Podemos escrever de forma compacta:
\text{dist}(P,s)=\sqrt{\frac{195}{14}}.
Se quiser uma aproximação numérica rápida, \sqrt{\tfrac{195}{14}}\approx 3{,}73, mas a forma exata é preferível em prova.

Resposta

\sqrt{\dfrac{195}{14}}

Exercícios relacionados