Determine a distância entre:
P=(1,2,3) e \pi:-x-y-z+7=0

Passo 1

O enunciado pede a distância entre o ponto P=(1,2,3) e o plano \pi:\;-x-y-z+7=0.
Informações dadas:
P=(1,2,3).
\pi tem equação -x-y-z+7=0.
Objetivo: calcular a distância mínima (perpendicular) de P até \pi.

Passo 2

Vamos entender a ideia geométrica e a fórmula que usamos.
Uma reta perpendicular ao plano aponta na direção do vetor normal do plano. Se a equação do plano for
ax+by+cz+d=0,
então o vetor normal é n=(a,b,c). A distância de um ponto P_0=(x_0,y_0,z_0) ao plano é o comprimento da projeção do vetor que liga qualquer ponto Q do plano a P_0 sobre a direção normal. Isso dá a fórmula conhecida:
\text{dist}(P_0,\pi)=\frac{|ax_0+by_0+cz_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}.
Explicando passo a passo por que essa fórmula funciona: se Q está no plano, o vetor \overrightarrow{QP_0}=P_0-Q. A projeção de \overrightarrow{QP_0} sobre n tem comprimento \dfrac{|\overrightarrow{QP_0}\cdot n|}{\|n\|}. Mas para qualquer Q no plano vale a q_x + b q_y + c q_z + d = 0, daí \overrightarrow{QP_0}\cdot n = a x_0 + b y_0 + c z_0 + d. Tomando o valor absoluto e dividindo por \|n\| obtemos a distância.

Passo 3

Aplicando isso ao nosso plano \pi:\;-x-y-z+7=0. Identificamos os coeficientes:
a=-1,\quad b=-1,\quad c=-1,\quad d=7.
Portanto o vetor normal é
n=(a,b,c)=(-1,-1,-1).

Passo 4

Calcule o comprimento (norma) do vetor normal:
\|n\|=\sqrt{a^2+b^2+c^2}=\sqrt{(-1)^2+(-1)^2+(-1)^2}=\sqrt{1+1+1}=\sqrt{3}.

Passo 5

Calcule o numerador da fórmula, isto é ax_0+by_0+cz_0+d para P=(1,2,3):
a x_0 + b y_0 + c z_0 + d = (-1)\cdot 1 + (-1)\cdot 2 + (-1)\cdot 3 + 7 = -1-2-3+7 = 1.
O valor absoluto é |1|=1.

Passo 6

Agora aplicamos a fórmula da distância:
\text{dist}(P,\pi)=\frac{|ax_0+by_0+cz_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}=\frac{1}{\sqrt{3}}.
Se quiser, racionalizando o denominador:
\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}.

Resposta

\dfrac{1}{\sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{3}}{3}

Exercícios relacionados