Determine a distância entre: P=(1,2,3) e \pi:-x-y-z+7=0
Passo 1
O enunciado pede a distância entre o ponto P=(1,2,3) e o plano \pi:\;-x-y-z+7=0.
Informações dadas: P=(1,2,3). \pi tem equação -x-y-z+7=0.
Objetivo: calcular a distância mínima (perpendicular) de P até \pi.
Passo 2
Vamos entender a ideia geométrica e a fórmula que usamos.
Uma reta perpendicular ao plano aponta na direção do vetor normal do plano. Se a equação do plano for
ax+by+cz+d=0,
então o vetor normal é n=(a,b,c). A distância de um ponto P_0=(x_0,y_0,z_0) ao plano é o comprimento da projeção do vetor que liga qualquer ponto Q do plano a P_0 sobre a direção normal. Isso dá a fórmula conhecida:
Explicando passo a passo por que essa fórmula funciona: se Q está no plano, o vetor \overrightarrow{QP_0}=P_0-Q. A projeção de \overrightarrow{QP_0} sobre n tem comprimento \dfrac{|\overrightarrow{QP_0}\cdot n|}{\|n\|}. Mas para qualquer Q no plano vale a q_x + b q_y + c q_z + d = 0, daí \overrightarrow{QP_0}\cdot n = a x_0 + b y_0 + c z_0 + d. Tomando o valor absoluto e dividindo por \|n\| obtemos a distância.
Passo 3
Aplicando isso ao nosso plano \pi:\;-x-y-z+7=0. Identificamos os coeficientes: