Considere as retas r1=(t+3, t+4,-t-1) mid t in R e r2=(s+4,-s,-3 s+1) mid s in R. Mostre que as retas r1 e r2 são reversas e determine a única reta que intersecta r1 e r2 perpendicularmente, os pontos P1 in r1 e P2 in r2 tais que d(P1, P2)=d(r1, r2) e o plano Pi tal que d(Pi, r1)=13 d(r1, r2) e d(Pi, r2)=23 d(r1, r2).

Passo 1

O enunciado trabalha com geometria analítica em R^3. Temos as retas
r1: (x,y,z) = (3,4,-1) + t,(1,1,-1), r2: (x,y,z) = (4,0,1) + s,(1,-1,-3)
Precisamos mostrar que são reversas (skew), achar a reta comum perpendicular a ambas, os pés P1in r1 e P2in r2 que realizam a distância mínima d(r1,r2) e por fim determinar o plano Pi cuja distância a r1 é tfrac13d(r1,r2) e a r2 é tfrac23d(r1,r2).

Passo 2

Mostramos que não são paralelas e não se intersectam. Os vetores diretores são
u=(1,1,-1), v=(1,-1,-3)
Como u não é múltiplo escalar de v, as retas não são paralelas. Para verificar interseção, igualamos
(3+t,4+t,-1-t)=(4+s,,-s,;1-3s)
e tentamos resolver para (t,s). Do primeiro componente 3+t=4+s vem t-s=1. Da segunda 4+t=-s e da terceira -1-t=1-3s. Esse sistema é incompatível, logo não há interseção. Concluímos que r1 e r2 são reversas.

Passo 3

A reta comum perpendicular tem direção dada pelo produto vetorial
Para achar os pés
isto é
cuja solução é . Assim

Passo 4

A distância mínima entre as retas é
d(r1,r2) =l|P2-P1r| =raizl(tfrac83r)^2+l(-tfrac43r)^2+l(tfrac43r)^2 =4raiz63
Alternativamente, pela fórmula
d(r1,r2) =l|(A1-A2)cdot(utimes v)r||utimes v| =162raiz6 =4raiz63

Passo 5

O plano Pi é perpendicular à reta comum, logo seu vetor normal é n=utimes v=(-4,2,-2). A equação geral é
-4x+2y-2z +D =0
Para que a distância de Pi a r1 seja tfrac13d(r1,r2)=tfrac4raiz69, impomos
l|-4cdot3+2cdot4-2cdot(-1)+Dr||n| =|-2+D|2raiz6 =4raiz69,
o que dá D=22/3. Confirma-se que a distância até r2 fica tfrac23d(r1,r2). Portanto
Pi: -4x+2y-2z+tfrac223=0

Resposta

As retas r1 e r2 são reversas.
A reta comum perpendicular é
ell:;(x,y,z) =l(tfrac56,tfrac116,tfrac76r) +mu;(-4,2,-2)
Os pés de distância mínima são
P1=l(tfrac56,tfrac116,tfrac76r) e P2=l(tfrac72,tfrac12,tfrac52r),
com
d(r1,r2)=4raiz63
O plano Pi que faz
,d(Pi,r1)=tfrac13,d(r1,r2) e
,d(Pi,r2)=tfrac23,d(r1,r2) é
Pi:;-4x+2y-2z+tfrac223=0

Exercícios relacionados