Obtenha o ponto de interseção da reta r com o plano Pi e o seno do ângulo de incidência de r em Pi, onde:
r:lx+y-z=0 2 x+3 y=1 e Pi: 5 y-2 z=5

Passo 1

O enunciado nos dá a reta
e o plano com e (b) o seno do ângulo entre e .

Passo 2

Para parametrizar r, vamos obter o vetor diretor d como o produto vetorial dos normais dos dois planos que definem r.
n1=(1,1,-1) e n2=(2,3,0),
então
d = n1 times n2 = ex & ey & ez 1 & 1 & -1 2 & 3 & 0 =(3,,-2,,1)

Passo 3

Agora achamos um ponto P0 em r resolvendo o sistema. Da primeira equação vem z=x+y. Substituindo em 2x+3y=1, escolhemos o parâmetro t=y e obtemos
x=1-3t2, y=t, z=1- t2
Para t=0 temos P0l(x,y,zr)=l(tfrac12,0,tfrac12r).

Passo 4

Para achar a interseção com Pi, impomos
5y-2z=5
na parametrização:
5l(tr)-2l(tfrac12-tfrac t2r)=5 Longrightarrow 5t -1 + t =5 Longrightarrow 6t=6 Longrightarrow t=1
Logo o ponto de interseção é
x=tfrac12-tfrac32cdot1=-tfrac117?

Passo 5

O seno do ângulo theta entre a reta e o plano satisfaz
sintheta = l| dcdot nr|| d|;| n|,
onde n é o normal de Pi, isto é n=(0,5,-2). Calculamos
dcdot n =3cdot0 +(-2)cdot5 +1cdot(-2) = -12,
| d| =raiz3^2+(-2)^2+1^2=raiz14, | n|=raiz0^2+5^2+(-2)^2=raiz29
Portanto
sintheta = 12raiz14,raiz29

Resposta

O ponto de interseção é l(-tfrac172,,6,,-tfrac52r) e
sintheta = 12raiz14,raiz29

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