Verifique se as retas r1 e r2 são coincidentes, paralelas, concorrentes ou reversas e calcule o ângulo ang<=(r1, r2) e a distância d(r1, r2) entre as retas, onde:
r1:lx=1+2 t y=-2+t z=-t ; t in R e r2: x-53=y2=z+22

Passo 1

O enunciado nos dá duas retas em
e (r_{2}] em forma simétrica

O conteúdo envolvido é geometria analítica em espaço: representar cada reta por um ponto e um vetor diretor, testar paralelismo e interseção, depois usar a fórmula do ângulo entre vetores e a distância entre retas.

Passo 2

Extrair para cada reta um ponto e um vetor diretor.
Para r1, ao tomar t=0 temos o ponto
P1=(1,,-2,,0),
e o vetor diretor
v1=(2,,1,,-1)
Para r2, igualando ao parâmetro s,
x-53=y2=z+22=s
dá o ponto em s=0
P2=(5,,0,,-2),
e o vetor diretor
v2=(3,,2,,2)

Passo 3

Verificar se as retas são paralelas: basta ver se v1 e v2 são proporcionais.
23neq12neq-12,
logo não são proporcionais e as retas não são paralelas.

Passo 4

Verificar se há interseção: buscar t,s tais que
1+2t=5+3s, -2+t=2s, -t=-2+2s
Das últimas duas equações obtemos s=0 e t=2, que satisfaz também a primeira. Assim existe ponto comum
P=(5,,0,,-2),
logo as retas são concorrentes.

Passo 5

Calcular o ângulo theta entre as retas usando as direções:
costheta = lvert v1cdot v2rvert|v1|;|v2|
Aqui
v1cdot v2 =2cdot3+1cdot2+(-1)cdot2=6, |v1|=raiz2^2+1^2+(-1)^2=raiz6, |v2|=raiz3^2+2^2+2^2=raiz17
Logo
costheta=6raiz6,raiz17=raiz6raiz17,
theta=arccos!l(tfracraiz6raiz17r).

Passo 6

Calcular a distância d(r1,r2): como as retas são concorrentes,
d(r1,r2)=0

Resposta

As retas são concorrentes,
theta=arccos!l(tfracraiz6raiz17r)
e
d(r1,r2)=0.

Exercícios relacionados