Considere as retas
ll r1=A+t A B mid t in R & r3=E+t E F mid t in R r2=C+t C D mid t in R & r4=G+t G H mid t in R
onde
cccc A=(1,1,1) & B=(3,4,2) & C=(3,4,5) & D=(-7,-10,-7) E=(1,1,0) & F=(-4,-6,-6) & G=(-1,-2,0) & H=(5,7,3)
Verifique se as retas ri e rj, i neq j, 1 <= i, j <= 4, são coincidentes, paralelas, concorrentes ou reversas.

Passo 1

O enunciado dá quatro retas
ll r1=A+t,ABmid tinR,&r2=C+t,CDmid tinR, r3=E+t,EFmid tinR,&r4=G+t,GHmid tinR,
com pontos
A=(1,1,1),;B=(3,4,2),;C=(3,4,5),;D=(-7,-10,-7),;E=(1,1,0),;F=(-4,-6,-6),;G=(-1,-2,0),;H=(5,7,3)
Precisamos classificar cada par (ri,rj), ineq j, como coincidente, paralela (distinta), concorrente (intersectante) ou reversa (skew).

Passo 2

Calculemos os vetores diretores:
AB=B-A=(2,3,1), CD=D-C=(-10,-14,-12),
EF=F-E=(-5,-7,-6), GH=H-G=(6,9,3)
Note que
(-10,-14,-12)=-2,(5,7,6),(-5,-7,-6)=-1,(5,7,6),
logo CD e EF são colineares.
E também
(6,9,3)=3,(2,3,1),
logo AB e GH são colineares.

Passo 3

Como as direções de r1 e r4 coincidem, estas retas são paralelas ou coincidentes. Verificamos se G está em r1:
A+t(2,3,1)=G;Longrightarrow;(1+2t,,1+3t,,1+t)=(-1,-2,0)
resolve-se t=-1 e confere em todas as coordenadas. Logo Gin r1 e r1equiv r4.
Analogamente, CD e EF coincidem em direção, mas testando se C está em r3 não achamos parâmetro que satisfaça todas as coordenadas. Portanto r2 e r3 são paralelas distintas.

Passo 4

Para cada par cujas direções não são colineares, tentamos resolver
Pi + t,di=Pj + s,dj
Em todos os casos — (r1,r2), (r1,r3), (r2,r4) e (r3,r4) — o sistema fica incompatível, mostrando que não há ponto comum. Logo são retas reversas (skew).

Resposta

r1 e r2 são reversas.
r1 e r3 são reversas.
r1 e r4 são coincidentes.
r2 e r3 são paralelas (distintas).
r2 e r4 são reversas.
r3 e r4 são reversas.

Exercícios relacionados