Verifique se os subconjuntos abaixo são subespaços de .
e d

Passo 1

O enunciado pede para verificar se
S = a & b c & din M(2,2)mid c = a + b,;d=0
é um subespaço de M(2,2).
Para isso vamos usar o critério de subespaço:
1) 0in S.
2) se X,Yin S, então X+Yin S.
3) se Xin S e lambdainR, então lambda Xin S.

Passo 2

Verificando 0in S: a matriz zero é
0 = 0 & 0 0 & 0
Aqui a=0, b=0 dão c=a+b=0 e d=0. Logo 0in S.

Passo 3

Fechamento sob soma: sejam
X=a1 & b1 c1 & d1, Y=a2 & b2 c2 & d2
em S. Então c1=a1+b1, d1=0 e c2=a2+b2, d2=0.
A soma é
X+Y = a1+a2 & b1+b2 [6pt] c1+c2 & d1+d2 = a1+a2 & b1+b2 [3pt] (a1+b1)+(a2+b2) & 0+0
Note que (a1+b1)+(a2+b2)=(a1+a2)+(b1+b2) e o elemento (2,2) continua zero. Logo X+Yin S.]

Passo 4

Fechamento sob escalar: seja X=a & b c & din S e lambdainR.
Então c=a+b e d=0.
lambda X = lambda a & lambda b [3pt] lambda c & lambda d = lambda a & lambda b [3pt] lambda(a+b) & 0 = lambda a & lambda b [3pt] (lambda a)+(lambda b) & 0 ,
portanto lambda X também satisfaz a condição c' = a'+b' e d'=0. Assim lambda Xin S.]

Resposta

S é subespaço de M(2,2).

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