Seja P um ponto do segmento A B tal que d(P, A)=3 d(P, B). Obtenha o parâmetro t de modo que P=A+t A B. Se A=(1,3,1) e B=(6,8,2), encontre o ponto P.

Passo 1

O enunciado diz que P está sobre o segmento AB de modo que a distância de P a A é três vezes a distância de P a B. Queremos escrever
P = A + t,AB
e determinar o parâmetro t. O conteúdo aqui é a relação de divisão de um segmento em uma razão fixa (fórmula do ponto que divide um segmento).

Passo 2

Primeiro, calculemos o vetor
AB = B - A
Então
P = A + t,(B - A)
Como distância euclidiana satisfaz
|P - A| = t,|AB|,
e
|P - B| = l|A + t(B-A)-Br| = |1-t|,|AB|
Como P está entre A e B, tem 0<= t<=1, logo |P - B|=(1-t)|AB|. A condição é
|P - A| = 3,|P - B| Longrightarrow t,|AB| = 3,(1-t),|AB|

Passo 3

Cancelando |AB| (que não é zero) e resolvendo em t:
t = 3(1-t) Longrightarrow t = 3 - 3t Longrightarrow 4t = 3 Longrightarrow t = tfrac34

Passo 4

Agora, com A=(1,3,1) e B=(6,8,2), temos
AB = (6-1,;8-3,;2-1) = (5,5,1)
Logo
P = A + tfrac34,(5,5,1) = l(1 + tfrac34cdot5,;3 + tfrac34cdot5,;1 + tfrac34cdot1r) = l(tfrac194,;tfrac274,;tfrac74r)

Resposta

P = l(tfrac194,;tfrac274,;tfrac74r)

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