O lugar geométrico dos pontos P=(x, y, z) tais que a soma das distâncias de P aos pontos (0,0,5) e (0,0,-5) é igual a 12 é um elipsoide de equaçāo 36 x^{2}+36 y^{2}+11 z^{2}-395=0.
Escolha uma opçâo:
O Verdadeiro
O Falso

Passo 1

O enunciado pede o lugar geométrico dos pontos P=(x,y,z) tais que a soma das distâncias de P aos focos (0,0,5) e (0,0,-5) é igual a 12. Esse é exatamente o caso de um elipsoide (prolato) com focos no eixo z, onde a definição diz que
\text{soma das distâncias aos focos} = 2a.â

Passo 2

Identificamos que 2a = 12, logo
a = 6.
Os focos estão em (0,0,\pm c) com c = 5.

Passo 3

Para um elipsoide prolato vale
b^2 = a^2 - c^2.
Substituindo a=6 e c=5, obtemos
b^2 = 6^2 - 5^2 = 36 - 25 = 11.

Passo 4

A equação padrão do elipsoide é
\frac{x^2}{b^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{a^2} = 1.
Substituindo b^2=11 e a^2=36, temos
\frac{x^2}{11} + \frac{y^2}{11} + \frac{z^2}{36} = 1.
Multiplicando ambos os lados por 396 (o mínimo múltiplo comum de 11 e 36), resulta
36x^2 + 36y^2 + 11z^2 = 396.

Passo 5

O enunciado afirma que a equação é
36x^2 + 36y^2 + 11z^2 - 395 = 0,
mas o correto seria
36x^2 + 36y^2 + 11z^2 - 396 = 0.
Portanto, a afirmação está errada.

Resposta

Falso

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