Qual das superficies a seguir, apresenta como interseções com planos paralelos aos eixos coordenados apenas elipses e pontos?
Escolha uma opçăo:
a. Paraboloide Eliptico
b. Hiperboloide de 1 folha
c. Paraboloide Hiperbólico
d. Hiperboloide de 2 folhas
e. Elipsoide

Passo 1

Estamos buscando a superfície cujo corte por qualquer plano paralelo a um dos eixos coordenados x=k, y=k ou z=k seja sempre uma elipse (ou degenerado em ponto). As opções são superfícies quadricas conhecidas; vamos examinar cada uma quanto aos seus cortes.

Passo 2

Para o paraboloide elíptico de equação
z = \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2},
– corte por z=k (plano paralelo ao plano xy): dá elipse para k>0 e ponto para k=0.
– porém corte por x=k:
z = \frac{k^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2}
é equação de parábola no plano yz. Logo, aparecem parábolas, não só elipses.

Passo 3

Para o hiperboloide de uma folha de equação
\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = 1,
– corte por x=k:
\frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = 1 - \frac{k^2}{a^2}
é uma hipérbole sempre que o lado direito for não nulo. Logo aparecem hipérboles.

Passo 4

Para o paraboloide hiperbólico de equação
z = \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2},
– cortes por x=k ou y=k dão parábolas; por z=k dão hipérboles. Aparecem parábolas e hipérboles, não apenas elipses.

Passo 5

Para o hiperboloide de duas folhas de equação
-\,\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1,
– corte por x=k ou y=k produz hipérbole no plano restante. Logo, surgem hipérboles.

Passo 6

Para o elipsoide de equação
\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1,
cada corte por x=k (com \lvert k\rvert \le a), ou por y=k (com \lvert k\rvert\le b), ou por z=k (com \lvert k\rvert\le c) é
\frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1 - \frac{k^2}{a^2} \quad\text{(ou permutações)},çõ
que é sempre uma elipse se o lado direito for positivo, e degenera em ponto quando o lado direito é zero. Não aparecem parábolas nem hipérboles.

Resposta

e. Elipsoide

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