Qual das superficies a seguir, apresenta como interseções com planos paralelos aos eixos coordenados apenas elipses e pontos?
Escolha uma opçăo:
a. Paraboloide Eliptico
b. Hiperboloide de 1 folha
c. Paraboloide Hiperbólico
d. Hiperboloide de 2 folhas
e. Elipsoide
a. Paraboloide Eliptico
b. Hiperboloide de 1 folha
c. Paraboloide Hiperbólico
d. Hiperboloide de 2 folhas
e. Elipsoide
Passo 1
Estamos buscando a superfície cujo corte por qualquer plano paralelo a um dos eixos coordenados
,
ou
seja sempre uma elipse (ou degenerado em ponto). As opções são superfícies quadricas conhecidas; vamos examinar cada uma quanto aos seus cortes.
Passo 2
Para o paraboloide elíptico de equação
– corte por
(plano paralelo ao plano
): dá elipse para
e ponto para
.
– porém corte por :
– porém corte por
é equação de parábola no plano
. Logo, aparecem parábolas, não só elipses.
Passo 3
Para o hiperboloide de uma folha de equação
– corte por
:
é uma hipérbole sempre que o lado direito for não nulo. Logo aparecem hipérboles.
Passo 4
Para o paraboloide hiperbólico de equação
– cortes por
ou
dão parábolas; por
dão hipérboles. Aparecem parábolas e hipérboles, não apenas elipses.
Passo 5
Para o hiperboloide de duas folhas de equação
– corte por
ou
produz hipérbole no plano restante. Logo, surgem hipérboles.
Passo 6
Para o elipsoide de equação
cada corte por
(com
), ou por
(com
), ou por
(com
) é
que é sempre uma elipse se o lado direito for positivo, e degenera em ponto quando o lado direito é zero. Não aparecem parábolas nem hipérboles.
Resposta
e. Elipsoide