Considere as retas
r: 1-x2=y=1-z3 s:l x+y-z=0 x+2 y-2 z=1
(a) Determine a posição relativa entre as retas r e s;
(b) Determine o ângulo entre as retas r e s.

Passo 1

O enunciado dá duas retas no espaço: a reta r em forma simétrica e a reta s via um sistema de equações lineares. O conteúdo é geometria analítica no espaço, e vamos precisar das formas paramétricas das retas, de seus vetores diretores, testar se são paralelas ou se intersectam e, por fim, calcular o ângulo entre elas usando produto escalar.

Passo 2

Para a reta r usemos um parâmetro t definindo y=t. Da igualdade (1−x)/2=y obtemos 1−x=2t, logo x=1−2t. Da igualdade y=(1−z)/3 obtemos 1−z=3t, logo z=1−3t. Assim, uma forma paramétrica de r é
x=1-2t, y=t, z=1-3t
Dessa forma vemos que o vetor diretor de r é vec vr=(-2,1,-3) e um ponto qualquer em r é P0=(1,0,1).

Passo 3

Para a reta s temos o sistema
x+y-z=0, x+2y-2z=1
Subtraindo a primeira equação da segunda vem y−z=1 ⇒ y=z+1. Substituindo em x+y−z=0 dá x+(z+1)−z=0 ⇒ x=−1. Tomando z como parâmetro u, obtemos a forma paramétrica
x=-1, y=u+1, z=u
Logo o vetor diretor de s é vec vs=(0,1,1) e um ponto em s é Q0=(-1,1,0).

Passo 4

Para ver a posição relativa primeiro notamos que vec vr e vec vs não são múltiplos, então não são paralelas. Depois tentamos achar interseção: igualando as parametrizações
1-2t=-1, t=u+1, 1-3t=u
Da primeira vem t=1. Então u=0 e o z de r dá 1−3·1=−2, diferente de u=0. Como não há solução comum, as retas não se intersectam. Concluímos que r e s são retas reversas.

Passo 5

O ângulo entre retas no espaço é o mesmo entre seus vetores diretores. Calculamos o cosseno pelo produto escalar:
costheta=|vec vrcdotvec vs||vec vr|,|vec vs|
Temos
vec vrcdotvec vs=(-2)cdot0+1cdot1+(-3)cdot1=1-3=-2,
|vec vr|=raiz(-2)^2+1^2+(-3)^2=raiz14,|vec vs|=raiz0^2+1^2+1^2=raiz2
Logo
costheta=|-2|raiz14,raiz2=2raiz28=1raiz7

Resposta

(a) As retas são reversas (não paralelas e sem interseção). (b) theta=arccosl(1/raiz7r).

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