Considere as retas
(a) Determine a posição relativa entre as retas
e
;
(b) Determine o ângulo entre as retas
e
.
(b) Determine o ângulo entre as retas
Passo 1
O enunciado dá duas retas no espaço: a reta r em forma simétrica e a reta s via um sistema de equações lineares. O conteúdo é geometria analítica no espaço, e vamos precisar das formas paramétricas das retas, de seus vetores diretores, testar se são paralelas ou se intersectam e, por fim, calcular o ângulo entre elas usando produto escalar.
Passo 2
Para a reta r usemos um parâmetro t definindo y=t. Da igualdade (1−x)/2=y obtemos 1−x=2t, logo x=1−2t. Da igualdade y=(1−z)/3 obtemos 1−z=3t, logo z=1−3t. Assim, uma forma paramétrica de r é
Dessa forma vemos que o vetor diretor de r é
e um ponto qualquer em r é
.
Passo 3
Para a reta s temos o sistema
Subtraindo a primeira equação da segunda vem y−z=1 ⇒ y=z+1. Substituindo em x+y−z=0 dá x+(z+1)−z=0 ⇒ x=−1. Tomando z como parâmetro u, obtemos a forma paramétrica
Logo o vetor diretor de s é
e um ponto em s é
.
Passo 4
Para ver a posição relativa primeiro notamos que
e
não são múltiplos, então não são paralelas. Depois tentamos achar interseção: igualando as parametrizações
Da primeira vem t=1. Então u=0 e o z de r dá 1−3·1=−2, diferente de u=0. Como não há solução comum, as retas não se intersectam. Concluímos que r e s são retas reversas.
Passo 5
O ângulo entre retas no espaço é o mesmo entre seus vetores diretores. Calculamos o cosseno pelo produto escalar:
Temos
Logo
Resposta
(a) As retas são reversas (não paralelas e sem interseção). (b)
.