Sejam P=(1,0,-2) e pi: 2 x-y+2 z=-1.
(a) Determine o ponto P^prime simétrico ao ponto P em relação a pi;
(b) Determine a distância de P a pi.

Passo 1

O enunciado pede para achar, dado o ponto P=(1,0,−2) e o plano π: 2x−y+2z=−1, (a) o ponto simétrico P′ de P em relação a π e (b) a distância de P a π. O tema é geometria analítica em 3D: usamos distância ponto-plano, projeção ortogonal de ponto no plano e reflexão (espelhamento) de ponto.

Passo 2

Para a distância, primeiro colocamos a equação de π na forma ax+by+cz+d=0. Temos
2x - y + 2z + 1 = 0
O vetor normal é n=(2,-1,2) e
|n|=raiz2^2+(-1)^2+2^2=3
A distância de P(x₀,y₀,z₀) ao plano é
d=|ax₀+by₀+cz₀+d||n| = |2·1 + (-1)·0 +2·(-2) +1|3 = |-1|3 = 13

Passo 3

Para o ponto projetado H (pé da perpendicular) usamos a fórmula
H = P - ax₀+by₀+cz₀+d|n|^2,n
Aqui o numerador é -1 e |n|^2=9, logo
H = (1,0,-2) - l(-19r)(2,-1,2) = (1,0,-2) + l(29,-19,29r) = l(119,-19,-169r)

Passo 4

O ponto simétrico P′ é o espelho de P em relação a H, dado por P′=2H−P. Assim,
2H = l(229,-29,-329r),
P' = 2H - (1,0,-2) = l(229-1, -29-0, -329+2r) = l(139, -29, -149r)

Resposta

P’ = (13/9, -2/9, -14/9) e distância = 1/3

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