Sejam
e
.
(a) Determine o ponto
simétrico ao ponto
em relação a
;
(b) Determine a distância de
a
.
(a) Determine o ponto
(b) Determine a distância de
Passo 1
O enunciado pede para achar, dado o ponto P=(1,0,−2) e o plano π: 2x−y+2z=−1, (a) o ponto simétrico P′ de P em relação a π e (b) a distância de P a π. O tema é geometria analítica em 3D: usamos distância ponto-plano, projeção ortogonal de ponto no plano e reflexão (espelhamento) de ponto.
Passo 2
Para a distância, primeiro colocamos a equação de π na forma ax+by+cz+d=0. Temos
O vetor normal é
e
A distância de P(x₀,y₀,z₀) ao plano é
Passo 3
Para o ponto projetado H (pé da perpendicular) usamos a fórmula
Aqui o numerador é
e
, logo
Passo 4
O ponto simétrico P′ é o espelho de P em relação a H, dado por P′=2H−P. Assim,
Resposta
P’ = (13/9, -2/9, -14/9) e distância = 1/3