Demonstre a transformada de laplace da tabela onde
sen kt, onde o resultado é
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para demonstrar a transformada de Laplace da função . Para isso, vamos usar as propriedades da transformada de Laplace que lidam com funções lineares e senoidais. Precisamos saber as transformadas de
e de separadamente para então combinar os resultados.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a transformada de Laplace de
. Sabemos que a transformada de
é dada por:
Como temos
, podemos multiplicar a transformada de
por
:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a transformada de Laplace de . A transformada de é conhecida e é:
No nosso caso,
, então:
Passo 4
Como a função original é , a transformada de Laplace de
será a diferença das transformadas que encontramos:
Passo 5
Para simplificar essa expressão, vamos colocar as frações sob um denominador comum. O denominador comum entre
e
é
. Reescrevendo as frações:
Subtraindo as duas frações:
Resposta
A transformada de Laplace da função é: