Demonstre a transformada de laplace da tabela onde f(t)=k t- sen kt, onde o resultado é

k^3 s^2(s^2+k^2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para demonstrar a transformada de Laplace da função . Para isso, vamos usar as propriedades da transformada de Laplace que lidam com funções lineares e senoidais. Precisamos saber as transformadas de e de separadamente para então combinar os resultados.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a transformada de Laplace de Lt = 1s^2 . Sabemos que a transformada de Lkt = k cdot 1s^2 = ks^2 é dada por:
Como temos , podemos multiplicar a transformada de por :

Passo 3

Agora, vamos encontrar a transformada de Laplace de . A transformada de é conhecida e é:
No nosso caso, Lsen(at) = as^2 + a^2 , então:

Passo 4

Como a função original é , a transformada de Laplace de Lf(t) = Lkt - Lsen(kt) = ks^2 - ks^2 + k^2 será a diferença das transformadas que encontramos:

Passo 5

Para simplificar essa expressão, vamos colocar as frações sob um denominador comum. O denominador comum entre ks^2 = k(s^2 + k^2)s^2(s^2 + k^2) e ks^2 + k^2 = ks^2s^2(s^2 + k^2) é k(s^2 + k^2) - ks^2s^2(s^2 + k^2) = ks^2 + k^3 - ks^2s^2(s^2 + k^2) = k^3s^2(s^2 + k^2) . Reescrevendo as frações:
Subtraindo as duas frações:

Resposta

A transformada de Laplace da função é:
Lf(t) = k^3s^2(s^2+k^2)

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