Considere as retas
r1:l x+y+z=-1 x-y+z=1 e r2:(x, y, z)=(1,1,-1)+t(1,2,-1)
(a) Dê a equação paramétrica da reta r1
(b) Determine o plano paralelo a r1 que contem r2
(c) Determine a posição relativa das retas.

Passo 1

O enunciado dá duas retas em
e
Pede-se
(a) a forma paramétrica de que contenha ,
(c) a posição relativa entre e .
Para resolver vamos usar: resolução de sistema linear para (a), produto vetorial para achar normal de plano em (b) e análise de direções e possível interseção em (c).

Passo 2

Resolvendo o sistema de
Subtraindo a segunda da primeira:
Substituindo em como parâmetro, e .

Passo 3

Assim a forma paramétrica de r1 é
(x,y,z)=(-t,,-1,,t)
ou, escrevendo como ponto+direção,
(x,y,z)=(0,-1,0)+t,(-1,0,1)

Passo 4

Para achar o plano paralelo a r1 que contém r2, note que ele deve conter o ponto P0=(1,1,-1) de r2 e deve conter as direções de r2 e de r1.
Vetores diretores:
v1=(-1,0,1)(de (r1)), v2=(1,2,-1)(de (r2))
O normal do plano é
n = v1times v2 = deti&j&k -1&0&11&2&-1 =(-2,,0,,-2)sim(1,0,1)
A equação do plano passa por P0 e tem normal n=(1,0,1):
(1,0,1)cdotl((x,y,z)-(1,1,-1)r)=0 ;Longrightarrow; (x-1)+(z+1)=0 ;Longrightarrow; x+z=0

Passo 5

Para a posição relativa:
  1. v1 e v2 não são colineares, logo as retas não são paralelas.
  2. Ambas satisfazem x+z=0, então estão no mesmo plano.
  3. Retas num mesmo plano e não paralelas obrigatoriamente se intersectam.
    Para achar o ponto de interseção, igualamos
(-t,-1,t)=(1+s,,1+2s,,-1-s)
Da segunda coordenada: -1=1+2simplies s=-1.
Então da primeira: -t=1-1=0implies t=0.
O ponto comum é (0,-1,0).

Resposta

(a) (x,y,z)=(0,-1,0)+t,(-1,0,1).
(b) x+z=0.
(c) As retas estão no mesmo plano e não são paralelas, portanto se intersectam (em (0,-1,0)).

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