(a) Encontre uma base tanto do espaço linha quanto do espaço coluna da matriz
A=(ccccc -3 & 2 & 7 & 1 & -5 1 & 0 & -1 & 0 & 2 -1 & 2 & 5 & 2 & -2 2 & -3 & -8 & 1 & 0 1 & 1 & 1 & -1 & 4 )
(Valor: 2 pontos)
(b) Expresse cada coluna de A que não pertence à base do espaço coluna encontrada no item (a), como uma combinação linear dos elementos da base encontrada. (Valor: 1 ponto)

Passo 1

O enunciado pede uma base do espaço linha e do espaço coluna da matriz
A = -3 & 2 & 7 & 1 & -5 1 & 0 & -1 & 0 & 2 -1 & 2 & 5 & 2 & -2 2 & -3 & -8 & 1 & 0 1 & 1 & 1 & -1 & 4
Para isso vamos usar eliminação de Gauss, identificar pivôs e daí extrair as bases: as colunas correspondentes aos pivôs formam uma base do espaço coluna, e as linhas não-nulas da forma escalonada formam uma base do espaço linha.

Passo 2

Primeiro trocamos R1rightarrow R2 para ter pivô 1 na posição (1,1), e em seguida eliminamos as entradas abaixo na coluna 1. Após essas operações parciais obtemos
1 & 0 & -1 & 0 & 2 0 & 2 & 4 & 1 & 1 0 & 2 & 4 & 2 & 0 0 & -3 & -6 & 1 & -4 0 & 1 & 2 & -1 & 2

Passo 3

Agora tiramos pivô em (2,2) dividindo a segunda linha por 2 e eliminamos as outras entradas da coluna 2. O resultado é
1 & 0 & -1 & 0 & 2 0 & 1 & 2 & tfrac12 & tfrac12 0 & 0 & 0 & 1 & -1 0 & 0 & 0 & 2.5 & -2.5 0 & 0 & 0 & -1.5 & 1.5

Passo 4

Por fim usamos o pivô em (3,4) para zerar as outras entradas da coluna 4. Chegamos à forma reduzida em escada
1 & 0 & -1 & 0 & 2 0 & 1 & 2 & 0 & 1 0 & 0 & 0 & 1 & -1 0 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0
Dessa forma vemos que os pivôs estão nas colunas 1, 2 e 4, e que restaram três linhas não-nulas.

Passo 5

As colunas pivô 1,2,4 da matriz original formam uma base do espaço coluna. São
c1 = -31-121, c2 = 202-31, c4 = 1021-1
As linhas não-nulas da forma escalonada redu­zida
(1,0,-1,0,2),(0,1,2,0,1),(0,0,0,1,-1)
formam uma base do espaço linha.

Passo 6

Para expressar as colunas 3 e 5 em função da base c1,c2,c4 montamos sistemas. Chamando
c3 = 7-15-81, c5 = -52-204,
resolvemos
a,c1+b,c2+d,c4=c3 Longrightarrow a=-1,;b=2,;d=0,
a,c1+b,c2+d,c4=c5 Longrightarrow a=2,;b=1,;d=-1

Resposta

(a) Uma base do espaço coluna é
l(-3,1,-1,2,1)^T,;(2,0,2,-3,1)^T,;(1,0,2,1,-1)^Tr,
e uma base do espaço linha é
(1,0,-1,0,2),;(0,1,2,0,1),;(0,0,0,1,-1)
(b)
c3 = -1,c1+2,c2, c5 = 2,c1+1,c2-1,c4

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