Sejam P=(1,3,1) e pi o plano 2 x+y-2 z=0.
(a) Escreva o vetor P como a soma de dois vetores, sendo um perpendicular ao plano pi e outro pertencente a ele.
(b) Dê 2 vetores pertencentes a pi e perpendiculares entre si.
(c) Calcule a distância entre o ponto P e o plano pi.

Passo 1

O enunciado dá o ponto P=(1,3,1) e o plano picolon 2x+y-2z=0.
Conteúdo: decomposição de vetor via projeção ortogonal (parte normal ao plano e parte no plano), construção de vetores no plano ortogonais entre si, e cálculo da distância de um ponto a um plano usando a fórmula da distância.

Passo 2

Para decompor OP em componente perpendicular e componente no plano, identificamos o vetor normal ao plano
vec n = (2,1,-2),
e calculamos a projeção de OP=(1,3,1) sobre vec n:
vec vperp = projvec nOP = OPcdot vec nvec ncdot vec n,vec n = 2+3-24+1+4,(2,1,-2) = 39,(2,1,-2) = l(tfrac23,tfrac13,-tfrac23r)
A parte em pi é
vec vparal<=l = OP-vec vperp = l(1,3,1r) - l(tfrac23,tfrac13,-tfrac23r) = l(tfrac13,tfrac83,tfrac53r)

Passo 3

Para achar dois vetores em pi e perpendiculares entre si, buscamos vec v tais que vec vcdotvec n=0. Uma escolha simples é
vec v1=(1,0,1), vec v2=(1,-4,-1),
pois verificamos
vec v1cdotvec n =2cdot1+1cdot0-2cdot1=0, vec v2cdotvec n =2cdot1+1cdot(-4)-2cdot(-1)=0,
e ainda
vec v1cdotvec v2 =1cdot1+0cdot(-4)+1cdot(-1)=0,
logo são ortogonais e pertencem a pi.

Passo 4

A distância de P ao plano pi é dada por
d = l|2cdot1+1cdot3-2cdot1r||vec n| = |3|raiz4+1+4 = 33 =1

Resposta

(a) OP =l(tfrac23,tfrac13,-tfrac23r) +l(tfrac13,tfrac83,tfrac53r)
(b) Dois vetores em pi e ortogonais: (1,0,1) e (1,-4,-1).
(c) Distância de P a pi: 1.

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