Sejam e o plano .
(a) Escreva o vetor como a soma de dois vetores, sendo um perpendicular ao plano e outro pertencente a ele.
(b) Dê 2 vetores pertencentes a e perpendiculares entre si.
(c) Calcule a distância entre o ponto e o plano .
Passo 1
O enunciado dá o ponto e o plano .
Conteúdo: decomposição de vetor via projeção ortogonal (parte normal ao plano e parte no plano), construção de vetores no plano ortogonais entre si, e cálculo da distância de um ponto a um plano usando a fórmula da distância.
Passo 2
Para decompor em componente perpendicular e componente no plano, identificamos o vetor normal ao plano
e calculamos a projeção de sobre :
A parte em é
Passo 3
Para achar dois vetores em e perpendiculares entre si, buscamos tais que . Uma escolha simples é
pois verificamos
e ainda
logo são ortogonais e pertencem a .
Passo 4
A distância de ao plano é dada por
Resposta
(a) OP =l(tfrac23,tfrac13,-tfrac23r) +l(tfrac13,tfrac83,tfrac53r)
(b) Dois vetores em pi e ortogonais: (1,0,1) e (1,-4,-1).
(c) Distância de P a pi: 1.