Considere as retas
r1: x+13=y-12=z
e
r2: x=t, y=2 t, z=1-t
(a) Determine a posição relativa dessas retas;
(b) caso elas sejam paralelas ou reversas, determine a distância entre elas.

Passo 1

O enunciado dá duas retas no espaço e pede (a) a posição relativa entre elas e (b) a distância se forem paralelas ou reversas. O tema é geometria analítica espacial. Para resolver vamos extrair vetores direção e pontos de cada reta, testar paralelismo e interseção, e, se forem reversas (skew), usar a fórmula da distância entre retas reversas.

Passo 2

Para r1 temos
x+13=y-12=z=s
Logo um ponto em r1 é
P1=(-1,1,0) (quando s=0)
e seu vetor direção é
u=(3,2,1), pois
x=3s-1, y=2s+1, z=s

Passo 3

Para r2 temos
x=t, y=2t, z=1-t
Um ponto em r2 é
P2=(0,0,1) (quando t=0)
e o vetor direção é
v=(1,2,-1).

Passo 4

Primeiro checamos se u é múltiplo de v. Como não existe lambda tal que (3,2,1)=lambda(1,2,-1), as retas não são paralelas. Depois tentamos resolver
3s-1 = t, 2s+1=2t, s=1-t
Dessa tentativa surge contradição em y, então não se intersectam. Concluímos que são retas reversas (skew).

Passo 5

Para retas reversas a distância é dada por
d = l|wcdot(utimesv)r||utimesv|,
onde w=P2-P1.

Passo 6

Calculamos
w=(0,0,1)-(-1,1,0)=(1,-1,1).
O produto vetorial é
utimesv=(3,2,1)times(1,2,-1)=(-4,4,4).
Então
wcdot(utimesv) = (1)(-4)+(-1)(4)+(1)(4) = -4-4+4 = -4,
|utimesv|=raiz(-4)^2+4^2+4^2=raiz48=4raiz3
Logo
d = |-4|4raiz3 = 44raiz3 = 1raiz3 = raiz33

Resposta

(a) As retas são reversas (skew).
(b) A distância entre elas é raiz33.

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