(a) Determine a posição relativa dessas retas;
(b) caso elas sejam paralelas ou reversas, determine a distância entre elas.
Passo 1
O enunciado dá duas retas no espaço e pede (a) a posição relativa entre elas e (b) a distância se forem paralelas ou reversas. O tema é geometria analítica espacial. Para resolver vamos extrair vetores direção e pontos de cada reta, testar paralelismo e interseção, e, se forem reversas (skew), usar a fórmula da distância entre retas reversas.
Passo 2
Para temos
Logo um ponto em é (quando )
e seu vetor direção é , pois
Passo 3
Para temos
Um ponto em é (quando )
e o vetor direção é .
Passo 4
Primeiro checamos se é múltiplo de . Como não existe tal que , as retas não são paralelas. Depois tentamos resolver
Dessa tentativa surge contradição em , então não se intersectam. Concluímos que são retas reversas (skew).
Passo 5
Para retas reversas a distância é dada por
onde w=P2-P1.
Passo 6
Calculamos w=(0,0,1)-(-1,1,0)=(1,-1,1).
O produto vetorial é utimesv=(3,2,1)times(1,2,-1)=(-4,4,4).
Então