Quais dos seguintes subconjuntos de R^3 são subespaços vetoriais de R^3 ?
(x, y, z) in R^3: x=0.

Passo 1

O enunciado nos dá o subconjunto
S = (x,y,z)in R^3mid x=0
e pede para ver se S é subespaço vetorial de R^3. Para isso, vamos usar os critérios básicos: contém o vetor zero, está fechado sob soma e multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificamos se o vetor zero pertence a S. O vetor zero é (0,0,0), e nele x=0, logo (0,0,0)in S.

Passo 3

Agora veja a soma: tome vec u=(0,y1,z1)in S e vec v=(0,y2,z2)in S. Então
vec u+vec v = (0,y1,z1)+(0,y2,z2) = (0,,y1+y2,,z1+z2)
Como a primeira coordenada continua zero, vec u+vec vin S, logo S é fechado sob adição.

Passo 4

Por fim, veja a multiplicação por escalar: para alphainR e vec u=(0,y1,z1)in S,
alphavec u = alpha,(0,y1,z1) = (0,,alpha y1,,alpha z1)
Aqui a primeira coordenada também é zero, então alphavec uin S, garantindo fechamento sob escalar.

Resposta

S é subespaço vetorial de R^3.

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