Quais dos seguintes subconjuntos são subespaços vetoriais?
O conjunto
formado pelas funçōes
tais que
para todo
.
O conjunto
Passo 1
Estamos no contexto do espaço vetorial
, que é o conjunto de todas as funções de
em
com soma e multiplicação por escalar definidas ponto a ponto. O subconjunto em questão é
Queremos verificar se
é um subespaço vetorial de
. Para isso, vamos checar três propriedades: presença do vetor zero, fechamento em soma e fechamento em multiplicação por escalar.
Passo 2
Verificar que a função zero
pertence a
. De fato, para todo
tenho
ou seja, a função zero satisfaz
. Logo,
.
Passo 3
Verificar fechamento em soma. Sejam
. Então para todo
Portanto,
também satisfaz a condição de período 1, e assim
.
Passo 4
Verificar fechamento em multiplicação por escalar. Seja
e
. Então para todo
Logo,
também está em
.
Passo 5
Como
contém a função zero, é fechado sob soma e sob multiplicação escalar, concluímos que
é um subespaço vetorial de
.
Resposta
O conjunto
é um subespaço vetorial de
.