Quais dos seguintes subconjuntos são subespaços vetoriais?
O conjunto F subset F(R, R) formado pelas funçōes f tais que f(x+1)=f(x) para todo x in R.

Passo 1

Estamos no contexto do espaço vetorial F(R,R), que é o conjunto de todas as funções de R em R com soma e multiplicação por escalar definidas ponto a ponto. O subconjunto em questão é
F = l,finF(R,R) mid f(x+1)=f(x) forall xinRr
Queremos verificar se F é um subespaço vetorial de F(R,R). Para isso, vamos checar três propriedades: presença do vetor zero, fechamento em soma e fechamento em multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificar que a função zero 0colon xmapsto 0 pertence a F. De fato, para todo xinR tenho
0(x+1)=0 = 0(x),
ou seja, a função zero satisfaz 0(x+1)=0(x). Logo, 0in F.

Passo 3

Verificar fechamento em soma. Sejam f,gin F. Então para todo x
(f+g)(x+1)=f(x+1)+g(x+1)=f(x)+g(x)=(f+g)(x)
Portanto, f+g também satisfaz a condição de período 1, e assim f+gin F.

Passo 4

Verificar fechamento em multiplicação por escalar. Seja alphainR e fin F. Então para todo x
(alpha f)(x+1)=alpha,f(x+1)=alpha,f(x)=(alpha f)(x)
Logo, alpha f também está em F.

Passo 5

Como F contém a função zero, é fechado sob soma e sob multiplicação escalar, concluímos que F é um subespaço vetorial de F(R,R).

Resposta

O conjunto F é um subespaço vetorial de F(R,R).

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