Determine se os conjuntos abaixo são subespaços de M(2,2). Em caso afirmativo exiba uma base:
V=[lla & b c & d] com a, b, c, d in R e b=0=c.

Passo 1

O enunciado define o conjunto
e pede para determinar se é subespaço de . Para isso vamos usar o critério de subespaço vetorial: verificar se a matriz zero pertence a , se é fechado sob soma e multiplicação escalar, e em caso afirmativo exibir uma base de .

Passo 2

A matriz zero em M(2,2) é
0=0&00&0
Como aqui b=0 e c=0, temos 0in V.

Passo 3

Sejam
M1=a1&00&d1 e M2=a2&00&d2
em V. Então
M1+M2=a1+a2&00&d1+d2
e, para alphain R,
alpha M1=alpha a1&00&alpha d1
Em ambas as operações as entradas b e c continuam zero, logo V é fechado sob soma e multiplicação escalar.

Passo 4

Como V contém a matriz zero e é fechado sob soma e multiplicação escalar, concluímos que V é um subespaço de M(2,2).

Passo 5

Qualquer matriz em V pode ser escrita como
a&00&d =a1&00&0 +d0&00&1
As matrizes
E11=1&00&0, E22=0&00&1
são linearmente independentes e geram V, portanto formam uma base.

Resposta

Sim, V é subespaço de M(2,2). Uma base de V é
1&00&0, 0&00&1

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