Determine se os conjuntos abaixo são subespaços de
. Em caso afirmativo exiba uma base:
com
e
.
Passo 1
O enunciado define o conjunto
e pede para determinar se
é subespaço de
. Para isso vamos usar o critério de subespaço vetorial: verificar se a matriz zero pertence a
, se
é fechado sob soma e multiplicação escalar, e em caso afirmativo exibir uma base de
.
Passo 2
A matriz zero em
é
Como aqui
e
, temos
.
Passo 3
Sejam
em
. Então
e, para
,
Em ambas as operações as entradas
e
continuam zero, logo
é fechado sob soma e multiplicação escalar.
Passo 4
Como
contém a matriz zero e é fechado sob soma e multiplicação escalar, concluímos que
é um subespaço de
.
Passo 5
Qualquer matriz em
pode ser escrita como
As matrizes
são linearmente independentes e geram
, portanto formam uma base.
Resposta
Sim,
é subespaço de
. Uma base de
é