Considere T: R^{2} \rightarrow R^{2}, dada por \mathrm{T}(\mathrm{x}, \mathrm{y})=(4 \mathrm{x}+\mathrm{y}, 8 \mathrm{x}+2 \mathrm{y}). Assinale a alternativa correta sobre T.
a. T é invertível
b. O núcleo de T é trivial, logo T é injetora.
c. T é injetora mas não sobrejetora.
d. T não é invertível.
e. A transformação T é bijetora.
Passo 1
O enunciado define a transformação linear T\colon \mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 dada por
T(x,y) = (4x + y,\;8x + 2y).
O conteúdo é teoria de transformações lineares em \mathbb{R}^n: injetividade, sobrejetividade, núcleo, posto e invertibilidade. Para resolver, vamos encontrar a matriz de T na base canônica e calcular seu determinante.
Passo 2
A matriz de T na base canônica de \mathbb{R}^2 é
A = \begin{pmatrix} 4 & 1\\\\ 8 & 2 \end{pmatrix}.
Passo 3
Para verificar se T é invertível, calculamos \det(A). Usando a fórmula de determinante em 2\times2:
\det(A) = 4\cdot2 \;-\;1\cdot8 = 8 - 8 = 0.
Passo 4
Como \det(A)=0, temos posto\,(A)<2, o que implica núcleo não trivial, logo T não é injetora e, consequentemente, não é invertível.