Considere a transformação T: R^{3} \rightarrow R^{3}, dada por \mathrm{T}(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z})=(\mathrm{x}+2 \mathrm{y}-\mathrm{z}, 3 \mathrm{x}+4 \mathrm{z}, \mathrm{x}+\mathrm{y}+\mathrm{z}). Qual das afirmações a seguir é correta?
a. A matriz associada a T não existe, pois T não é linear.
b. O posto da matriz associada a T é 2 , logo T não é sobrejetora.
c. A transformação T é injetora e sobrejetora, portanto bijetora.
d. A matriz associada a T tem determinante zero, logo T é bijetora.
e. O núcleo de T tem dimensão 2 , logo T é sobrejetora mas não injetora.

Passo 1

O enunciado define uma transformação linear T\colon \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3 por
T(x,y,z) = (\,x + 2y - z,\;3x + 4z,\;x + y + z\,).
O conteúdo envolve representação matricial de T, cálculo de determinante e posto, e consequente injetividade e sobrejetividade.

Passo 2

Como T é dada por combinações lineares das coordenadas, ela é linear e sua matriz associada, na base canônica, é
A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1\\\\ 3 & 0 & 4\\\\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix},
pois
A\begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\cdot x + 2\cdot y + (-1)\cdot z\\\\ 3\cdot x + 0\cdot y + 4\cdot z\\\\ 1\cdot x + 1\cdot y + 1\cdot z \end{pmatrix} = T(x,y,z).

Passo 3

Calculamos o determinante de A:
\det(A) = 1\cdot\det\!\begin{pmatrix}0 & 4\\\ 1 & 1\end{pmatrix} - 2\cdot\det\!\begin{pmatrix}3 & 4\\\ 1 & 1\end{pmatrix} + (-1)\cdot\det\!\begin{pmatrix}3 & 0\\\ 1 & 1\end{pmatrix}.
Isto é,
\det(A) = 1\,(0\cdot1 - 4\cdot1) -2\,(3\cdot1 - 4\cdot1) -1\,(3\cdot1 - 0\cdot1) = -4 -2(-1) -3 = -4 +2 -3 = -5 \neq 0.

Passo 4

Como \det(A)\neq0, a matriz A tem posto 3 (máximo em \mathbb{R}^3). Logo T é bijetora, isto é, injetora e sobrejetora.

Resposta

(c) A transformação T é injetora e sobrejetora, portanto bijetora.

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