Considere
o grupo das permutações de 3 elementos. Determine
tais que
.
Passo 1
O enunciado pede: encontrar
tais que
Informações dadas e úteis:
-
é o grupo das permutações de três elementos (ou seja, todas as bijeções de em si mesma). - Precisa-se apresentar explicitamente duas permutações
e em que satisfaçam a desigualdade acima.
Passo 2
Rápida revisão das ferramentas que vou usar (passo-a-passo e sem pressa):
- Uma permutação é vista como uma função
. Escrevemos ciclos para facilitar: por exemplo é a transposição que troca e e deixa fixo; é o ciclo que envia , , . - Composição
significa aplicar primeiro e depois . Em outras palavras, . - Quadrado de uma permutação:
. Observações úteis: - Se
é uma transposição (um ciclo de comprimento ), então (a identidade). - Se
é um ciclo de comprimento , por exemplo , então é o outro 3‑ciclo (ou seja, ), e .
- Se
Passo 3
Escolha conveniente (muito comum para mostrar não comutatividade): tomo
Ambas são transposições em
. Vou agora calcular passo a passo
,
e
.
Passo 4
Calcular
. Lembrando que se aplica
primeiro e depois
:
- Para
: e , logo . - Para
: e , logo . - Para
: e , logo .
Portanto a permutação
envia
, isto é
Passo 5
Calcular
. Como
é um 3‑ciclo, seu quadrado é o outro 3‑ciclo:
Para verificar concretamente:
envia
e aplicando de novo vai
, então o resultado é
, etc., coerente com
.
Passo 6
Calcular
. Como
é uma transposição, vale
. Então
Passo 7
Comparar
e
. Encontramos
Essas duas permutações são distintas (por exemplo,
enquanto
), portanto
Missão cumprida! Você pode usar a mesma ideia com outras escolhas não comutativas, mas essa é a mais simples e direta.