Considere S^{3} o grupo das permutações de 3 elementos. Determine f, g \in S^{3} tais que
(f \circ g)^{2} \neq f^{2} \circ g.

Passo 1

O enunciado pede: encontrar f,g\in S^{3} tais que
(f\circ g)^{2}\neq f^{2}\circ g.
Informações dadas e úteis:
  • S^{3} é o grupo das permutações de três elementos (ou seja, todas as bijeções de \{1,2,3\} em si mesma).
  • Precisa-se apresentar explicitamente duas permutações f e g em S^{3} que satisfaçam a desigualdade acima.

Passo 2

Rápida revisão das ferramentas que vou usar (passo-a-passo e sem pressa):
  • Uma permutação é vista como uma função \{1,2,3\}\to\{1,2,3\}. Escrevemos ciclos para facilitar: por exemplo (1\\\ 2) é a transposição que troca 1 e 2 e deixa 3 fixo; (1\\\ 2\\\ 3) é o ciclo que envia 1\mapsto2, 2\mapsto3, 3\mapsto1.
  • Composição f\circ g significa aplicar g primeiro e depois f. Em outras palavras, (f\circ g)(x)=f(g(x)).
  • Quadrado de uma permutação: h^{2}=h\circ h. Observações úteis:
    • Se h é uma transposição (um ciclo de comprimento 2), então h^{2}=\mathrm{id} (a identidade).
    • Se h é um ciclo de comprimento 3, por exemplo (1\\\ 2\\\ 3), então h^{2} é o outro 3‑ciclo (1\\\ 3\\\ 2) (ou seja, h^{2}=h^{-1}), e h^{3}=\mathrm{id}.

Passo 3

Escolha conveniente (muito comum para mostrar não comutatividade): tomo
f=(1\\\ 2),\qquad g=(2\\\ 3).
Ambas são transposições em S^{3}. Vou agora calcular passo a passo (f\circ g), (f\circ g)^{2} e f^{2}\circ g.

Passo 4

Calcular f\circ g. Lembrando que se aplica g primeiro e depois f:
  • Para x=1: g(1)=1 e f(1)=2, logo (f\circ g)(1)=2.
  • Para x=2: g(2)=3 e f(3)=3, logo (f\circ g)(2)=3.
  • Para x=3: g(3)=2 e f(2)=1, logo (f\circ g)(3)=1.
Portanto a permutação f\circ g envia 1\mapsto2\mapsto3\mapsto1, isto é
f\circ g=(1\\\ 2\\\ 3).

Passo 5

Calcular (f\circ g)^{2}. Como f\circ g=(1\\\ 2\\\ 3) é um 3‑ciclo, seu quadrado é o outro 3‑ciclo:
(f\circ g)^{2}=(1\\\ 2\\\ 3)^{2}=(1\\\ 3\\\ 2).
Para verificar concretamente: (1\\\ 2\\\ 3) envia 1\mapsto2 e aplicando de novo vai 1\mapsto3, então o resultado é 1\mapsto3, etc., coerente com (1\\\ 3\\\ 2).

Passo 6

Calcular f^{2}\circ g. Como f=(1\\\ 2) é uma transposição, vale f^{2}=\mathrm{id}. Então
f^{2}\circ g=\mathrm{id}\circ g=g=(2\\\ 3).

Passo 7

Comparar (f\circ g)^{2} e f^{2}\circ g. Encontramos
(f\circ g)^{2}=(1\\\ 3\\\ 2), \qquad f^{2}\circ g=(2\\\ 3).
Essas duas permutações são distintas (por exemplo, (f\circ g)^{2}(1)=3 enquanto (f^{2}\circ g)(1)=g(1)=1), portanto
(f\circ g)^{2}\neq f^{2}\circ g.
Missão cumprida! Você pode usar a mesma ideia com outras escolhas não comutativas, mas essa é a mais simples e direta.

Resposta

f=(1\\\ 2),\\ g=(2\\\ 3)

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