Considere
. Determine
e
.
Passo 1
O enunciado define
e pede
e
.
O conteúdo aqui é supremum e ínfimum de um conjunto numérico, usando definições de cota superior, cota inferior, e aproximação arbitrária dessas cotas.
O conteúdo aqui é supremum e ínfimum de um conjunto numérico, usando definições de cota superior, cota inferior, e aproximação arbitrária dessas cotas.
Passo 2
Mostramos que
é uma cota superior de
. Seja
. Então
pois
implica
. Logo, todo
satisfaz
, e
é cota superior de
.
Passo 3
Agora mostramos que não existe cota superior menor que
. Seja
. Tomemos
e escolhamos
suficientemente grande, por exemplo
. Então
Isso prova que existem elementos de
arbitrariamente próximos de
. Assim
.
Passo 4
Mostramos que
é cota inferior de
. Seja
. Então
pois
. Logo, todo
satisfaz
, e
é cota inferior.
Passo 5
Finalmente, para ver que
é o ínfimo, seja
. Tomemos
e
grande com
. Então
Isso mostra que há elementos de
tão próximos de
quanto quisermos. Portanto
.