Considere S=\left\{\frac{1}{n}-\frac{1}{m}: n, m \in \mathbb{N}\right\}. Determine \inf S e \sup S.

Passo 1

O enunciado define
S = \left\{\frac{1}{n} - \frac{1}{m} : n,m \in \mathbb{N}\right\}
e pede \inf S e \sup S.
O conteúdo aqui é supremum e ínfimum de um conjunto numérico, usando definições de cota superior, cota inferior, e aproximação arbitrária dessas cotas.

Passo 2

Mostramos que 1 é uma cota superior de S. Seja \displaystyle s=\frac{1}{n}-\frac{1}{m}\in S. Então
s = \frac{1}{n} - \frac{1}{m} < \frac{1}{n} \le 1,
pois n\in\mathbb{N} implica \tfrac1n\le1. Logo, todo s\in S satisfaz s<1, e 1 é cota superior de S.

Passo 3

Agora mostramos que não existe cota superior menor que 1. Seja \varepsilon>0. Tomemos n=1 e escolhamos m suficientemente grande, por exemplo m>\frac1\varepsilon. Então
\frac{1}{n}-\frac{1}{m} = 1 - \frac{1}{m} > 1 - \varepsilon.
Isso prova que existem elementos de S arbitrariamente próximos de 1. Assim \sup S = 1.

Passo 4

Mostramos que -1 é cota inferior de S. Seja \displaystyle s=\frac{1}{n}-\frac{1}{m}\in S. Então
s = \frac{1}{n} - \frac{1}{m} > -\frac{1}{m} \ge -1,
pois \tfrac1m\le1. Logo, todo s\in S satisfaz s>-1, e -1 é cota inferior.

Passo 5

Finalmente, para ver que -1 é o ínfimo, seja \varepsilon>0. Tomemos m=1 e n grande com n>\tfrac1\varepsilon. Então
\frac{1}{n}-\frac{1}{m} = \frac{1}{n} - 1 > -1 + \varepsilon.
Isso mostra que há elementos de S tão próximos de -1 quanto quisermos. Portanto \inf S = -1.

Resposta

\inf S = -1 \sup S = 1

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