Escreva uma demostração para os seguintes resultados:
Se
e
são números reais e
, então existe um número irracional
tal que $x<z<y.
Se
Passo 1
Resumo do enunciado e conteúdo necessário
O enunciado pede para provar que, dados em
, existe um número irracional
tal que
. Para isso vamos usar dois fatos clássicos:
O enunciado pede para provar que, dados
- A raiz de
, , é irracional. - O conjunto dos números racionais
é denso em , ou seja, entre quaisquer dois reais há um racional.
Passo 2
Multiplicando a desigualdade por
Como , multiplicando a desigualdade
por
obtemos
Como
Passo 3
Escolhendo um racional estritamente entre
e
Pela densidade de em
, existem infinitos racionais entre
e
. Como são infinitos, podemos escolher um racional
tal que
Pela densidade de
Passo 4
Definindo
e verificando
Defina
Defina
Então, dividindo a tripla desigualdade
por
, obtemos
ou seja,
Passo 5
Mostrando que
é irracional
Sabemos que é irracional e que
é racional não nulo. Se
fosse racional, então
seria racional (razão de dois racionais), o que contradiz o fato de
ser irracional. Logo,
é irracional.
Sabemos que
Resposta
Demonstração completa: tomamos
tal que
e definimos
. Então
e
é irracional.