Escreva uma demostração para os seguintes resultados:
Se x e y são números reais e x<y, então existe um número irracional z tal que $x<z<y.

Passo 1

Resumo do enunciado e conteúdo necessário
O enunciado pede para provar que, dados x<y em \mathbb{R}, existe um número irracional z tal que x<z<y. Para isso vamos usar dois fatos clássicos:
  1. A raiz de 2, \sqrt{2}, é irracional.
  2. O conjunto dos números racionais \mathbb{Q} é denso em \mathbb{R}, ou seja, entre quaisquer dois reais há um racional.

Passo 2

Multiplicando a desigualdade por \sqrt{2}>0
Como \sqrt{2}>0, multiplicando a desigualdade x<y por \sqrt{2} obtemos
\sqrt{2}\,x < \sqrt{2}\,y.

Passo 3

Escolhendo um racional estritamente entre \sqrt{2}\,x e \sqrt{2}\,y
Pela densidade de \mathbb{Q} em \mathbb{R}, existem infinitos racionais entre \sqrt{2}\,x e \sqrt{2}\,y. Como são infinitos, podemos escolher um racional q\neq 0 tal que
\sqrt{2}\,x < q < \sqrt{2}\,y.

Passo 4

Definindo z = q / \sqrt{2} e verificando x<z<y
Defina
z = \frac{q}{\sqrt{2}}.
Então, dividindo a tripla desigualdade \sqrt{2}\,x < q < \sqrt{2}\,y por \sqrt{2}>0, obtemos
x < \frac{q}{\sqrt{2}} < y,
ou seja,
x < z < y.

Passo 5

Mostrando que z é irracional
Sabemos que \sqrt{2} é irracional e que q é racional não nulo. Se \dfrac{q}{\sqrt{2}} fosse racional, então \sqrt{2} = \dfrac{q}{z} seria racional (razão de dois racionais), o que contradiz o fato de \sqrt{2} ser irracional. Logo, z é irracional.

Resposta

Demonstração completa: tomamos q\in\mathbb{Q}\setminus\{0\} tal que \sqrt{2}\,x<q<\sqrt{2}\,y e definimos z=q/\sqrt{2}. Então x<z<y e z é irracional.

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