Uma partícula de massa m e carga q está em uma região onde existe um campo magnético \vec{B}=B \hat{z} onde B é uma constante. Considerando o potencial vetor \vec{A}=\frac{B}{2}(-y \hat{x}+x \hat{y}), determine: (a) o Hamiltoniano para esse sistema, (b) as equações de Hamilton. Essas equações são as mesmas obtidas com o uso da segunda lei de Newton e da força de Lorentz? Explique.

Passo 1

O enunciado fala de uma partícula de massa m e carga q em campo magnético uniforme \vec B = B\,\hat z, usando o potencial vetor no chamado “gauge simétrico”
\displaystyle \vec A = \frac{B}{2}\bigl(-y\,\hat x + x\,\hat y\bigr).
Precisamos (a) escrever o Hamiltoniano em termos do momento canônico \vec p e (b) aplicar as equações de Hamilton
\dot q_i = \frac{\partial H}{\partial p_i},\quad \dot p_i = -\frac{\partial H}{\partial q_i}
e comparar com a segunda lei de Newton usando a força de Lorentz \vec F = q\,\vec v\times\vec B.

Passo 2

O Hamiltoniano de uma partícula carregada num campo magnético, em termos do momento canônico \vec p, é
H = \frac{1}{2m}\bigl(\vec p - q\,\vec A\bigr)^{2}.
Substituindo \vec A em coordenadas cartesianas:
\vec p - q\,\vec A = \bigl(p_x + \tfrac{qB}{2}y,\;p_y - \tfrac{qB}{2}x,\;p_z\bigr).
Logo
H = \frac{1}{2m}\Bigl[\bigl(p_x + \tfrac{qB}{2}y\bigr)^{2} +\bigl(p_y - \tfrac{qB}{2}x\bigr)^{2} +p_z^{2}\Bigr].

Passo 3

Vamos às equações de Hamilton para as coordenadas:
\dot x = \frac{\partial H}{\partial p_x} = \frac{1}{m}\bigl(p_x + \tfrac{qB}{2}y\bigr), \quad \dot y = \frac{\partial H}{\partial p_y} = \frac{1}{m}\bigl(p_y - \tfrac{qB}{2}x\bigr), \quad \dot z = \frac{\partial H}{\partial p_z} = \frac{p_z}{m}.
Como \vec v = \dot{\vec r}, vemos que
v_x = \frac{p_x + \tfrac{qB}{2}y}{m}, \quad v_y = \frac{p_y - \tfrac{qB}{2}x}{m}, \quad v_z = \frac{p_z}{m}.

Passo 4

Agora as equações para os momentos:
\dot p_x = -\frac{\partial H}{\partial x} = -\frac{1}{2m}\,2\bigl(p_y - \tfrac{qB}{2}x\bigr)\bigl(-\tfrac{qB}{2}\bigr) = \frac{qB}{2m}\bigl(p_y - \tfrac{qB}{2}x\bigr),
\dot p_y = -\frac{\partial H}{\partial y} = -\frac{1}{2m}\,2\bigl(p_x + \tfrac{qB}{2}y\bigr)\bigl(\tfrac{qB}{2}\bigr) = -\frac{qB}{2m}\bigl(p_x + \tfrac{qB}{2}y\bigr),
\dot p_z = -\frac{\partial H}{\partial z} = 0.
Em termos de velocidades, por exemplo
\dot p_x = \frac{qB}{2m}\,m\,v_y = \frac{qB}{2}\,v_y, \quad \dot p_y = -\frac{qB}{2}\,v_x.
Mas o momento canônico e o momento cinético estão ligados por \vec p = m\vec v + q\vec A.
Ao montar a combinação para m\dot v_x (usando \dot p_x = m\dot v_x + q\,\dot A_x) obtém-se
m\,\dot v_x = q\,v_y\,B, \quad m\,\dot v_y = -q\,v_x\,B, \quad m\,\dot v_z = 0,
que são exatamente as componentes de
m\,\dot{\vec v} = q\,\vec v\times\vec B.

Passo 5

Comparando, percebemos que as equações de Hamilton se reduzem, para as quantidades físicas \vec r e \vec v, às mesmas equações obtidas pela segunda lei de Newton com a força de Lorentz. A diferença de momento canônico versus momento cinético é “corrigida” pelo termo q\,\vec A, garantindo a equivalência de ambas as formulações.

Resposta

(a)
H = \frac{1}{2m}\Bigl[\bigl(p_x + \tfrac{qB}{2}y\bigr)^{2} +\bigl(p_y - \tfrac{qB}{2}x\bigr)^{2} +p_z^{2}\Bigr].
(b) As equações de Hamilton
\dot x_i = \frac{\partial H}{\partial p_i},\quad \dot p_i = -\frac{\partial H}{\partial q_i}
levam a
m\,\dot{\vec v} = q\,\vec v\times\vec B,
que é exatamente o resultado da segunda lei de Newton com a força de Lorentz. Portanto, sim, são as mesmas equações físicas.

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