Considere a seguência
an=1+13+19+127+ldots+13^n-1
(a) Determine a20.
(b) Mostre que an é uma sequência crescente.
(c) Mostre que an é limitada
(d) Calcule o limite da sequência.

Passo 1

O enunciado define a sequência
an=1+13+19+cdots+13^n-1
e pede: (a) calcular a20, (b) mostrar que (an) é crescente, (c) mostrar que é limitada e (d) encontrar o seu limite. O conteúdo principal é soma de progressão geométrica de razão r=tfrac13.

Passo 2

Para qualquer progressão geométrica de primeiro termo a=1 e razão r=tfrac13, a soma dos n primeiros termos é
Sn=a;1-r^n1-r
Aqui Sn=an, a=1 e r=tfrac13, logo
an =1-(tfrac13)^n1-tfrac13 =1-3^-ntfrac23 =32l(1-3^-nr)

Passo 3

Para n=20 temos
a20 =32l(1-3^-20r),
que é a forma exata de a20. Numericamente 3^-20 é desprezível ( approx3,5times10^-10), logo a20approx1,5.

Passo 4

Para ver que (an) é crescente, note
an+1-an =13^n>0
para todo n. Como a diferença entre termos sucessivos é positiva, a sequência cresce.

Passo 5

Para mostrar que (an) é limitada, observe que todos os termos são positivos e
an =sumk=0^n-113^k <sumk=0^infty13^k =11-tfrac13 =32
Logo 0<an<tfrac32, sendo limitada acima e abaixo.

Passo 6

Como 3^-nto0 quando ntoinfty, da fórmula
an=32l(1-3^-nr)
segue
limntoinftyan =32l(1-0r) =32

Resposta

(a) a20=32l(1-3^-20r) (aprox. 1,5).
(b) (an) é crescente, pois an+1-an=3^-n>0.
(c) (an) é limitada, porque 0<an<tfrac32.
(d) limntoinftyan=tfrac32.

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