Considere a seguência
(a) Determine
.
(b) Mostre que
é uma sequência crescente.
(c) Mostre que
é limitada
(d) Calcule o limite da sequência.
(b) Mostre que
(c) Mostre que
(d) Calcule o limite da sequência.
Passo 1
O enunciado define a sequência
e pede: (a) calcular
, (b) mostrar que
é crescente, (c) mostrar que é limitada e (d) encontrar o seu limite. O conteúdo principal é soma de progressão geométrica de razão
.
Passo 2
Para qualquer progressão geométrica de primeiro termo
e razão
, a soma dos
primeiros termos é
Aqui
,
e
, logo
Passo 3
Para
temos
que é a forma exata de
. Numericamente
é desprezível (
), logo
.
Passo 4
Para ver que
é crescente, note
para todo
. Como a diferença entre termos sucessivos é positiva, a sequência cresce.
Passo 5
Para mostrar que
é limitada, observe que todos os termos são positivos e
Logo
, sendo limitada acima e abaixo.
Passo 6
Como
quando
, da fórmula
segue
Resposta
(a)
(aprox.
).
(b) é crescente, pois
.
(c) é limitada, porque
.
(d) .
(b)
(c)
(d)