lim (x, y) neq(0,0) x^4x^2+y^2

Passo 1

Beleza, vamos calcular o limite de uma função de duas variáveis quando (x, y) se aproxima de (0,0). A função que temos é x^4x^2+y^2. Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites em funções de várias variáveis e entender como analisar o comportamento da função próximo ao ponto (0,0).

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a função x^4x^2+y^2. Observamos que, no numerador, temos x^4, que é sempre positivo ou zero, e no denominador temos x^2 + y^2, que também é sempre positivo ou zero. Queremos ver o que acontece com essa razão quando x e y ficam cada vez menores, se aproximando de zero.

Passo 3

Uma estratégia comum para limites em várias variáveis é verificar o limite ao longo de diferentes caminhos que levam ao ponto (0,0). Se todos os caminhos resultarem no mesmo valor, podemos conjecturar que esse é o limite. Se encontrarmos caminhos que dão resultados diferentes, o limite não existe.

Passo 4

Vamos tentar calcular o limite ao longo do eixo x, ou seja, quando y = 0. Substituindo y = 0 na função, temos:
x^4x^2+0^2 = x^4x^2 = x^2
Quando x to 0, x^2 to 0. Então, ao longo do eixo x, o limite é 0.

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite ao longo da linha y = kx, onde k é uma constante. Substituindo y = kx na função, temos:
x^4x^2+(kx)^2 = x^4x^2 + k^2x^2 = x^4x^2(1 + k^2) = x^21 + k^2
Novamente, quando x to 0, x^21 + k^2 to 0. Então, ao longo de qualquer linha reta que passe pela origem, o limite é 0.

Passo 6

Para confirmar que o limite é realmente 0, vamos usar a desigualdade. Sabemos que x^2 + y^2 >= x^2, então:
x^4x^2+y^2 <= x^4x^2 = x^2
Como x^2 to 0 quando (x, y) to (0,0), pela propriedade do limite, temos que x^4x^2+y^2 to 0.

Resposta

O limite é 0.

Exercícios relacionados