Passo 1
Beleza, vamos calcular o limite de uma função de duas variáveis quando
se aproxima de
. A função que temos é
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites em funções de várias variáveis e entender como analisar o comportamento da função próximo ao ponto
.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a função
. Observamos que, no numerador, temos
, que é sempre positivo ou zero, e no denominador temos
, que também é sempre positivo ou zero. Queremos ver o que acontece com essa razão quando
e
ficam cada vez menores, se aproximando de zero.
Passo 3
Uma estratégia comum para limites em várias variáveis é verificar o limite ao longo de diferentes caminhos que levam ao ponto
. Se todos os caminhos resultarem no mesmo valor, podemos conjecturar que esse é o limite. Se encontrarmos caminhos que dão resultados diferentes, o limite não existe.
Passo 4
Vamos tentar calcular o limite ao longo do eixo
, ou seja, quando
. Substituindo
na função, temos:
Quando
,
. Então, ao longo do eixo
, o limite é 0.
Passo 5
Agora, vamos calcular o limite ao longo da linha
, onde
é uma constante. Substituindo
na função, temos:
Novamente, quando
,
. Então, ao longo de qualquer linha reta que passe pela origem, o limite é 0.
Passo 6
Para confirmar que o limite é realmente 0, vamos usar a desigualdade. Sabemos que
, então:
Como
quando
, pela propriedade do limite, temos que
.
Resposta
O limite é
.