Considere o seguinte caso particular do modelo de Eisner-Strotz:
& max integral0^infty[2 K-K^2-(K^prime)^2] e^-t d t & sa K(0)=K0>0 e lim t infty K(t)=Kinfty
onde K=K(t) é o estoque de capital e K^prime(t)=I(t) é o investimento.
Obtenha a Equação de Euler deste problema e obtenha as trajetórias ótimas para o capital e o investimento, K^*(t) e I^*(t).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta um problema do modelo de Eisner-Strotz, que é uma forma de otimização em economia. Aqui, queremos maximizar a integral de uma função que envolve o estoque de capital $ K(t) $ e o investimento $ I(t) $. Precisamos usar conceitos de cálculo variacional e equações de Euler para encontrar as trajetórias ótimas para $ K(t) $ e $ I(t) $.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função que queremos maximizar:
integral0^infty[2 K - K^2 - (K^prime)^2] e^-t dt
Aqui, $ K(t) $ é o estoque de capital e $ K’(t) = I(t) $ é o investimento. Nosso objetivo é maximizar essa integral sujeita às condições iniciais e de limite.

Passo 3

Para resolver isso, vamos usar o cálculo variacional. A ideia é encontrar uma função $ K(t) $ que maximize a integral dada. Para isso, precisamos derivar a Equação de Euler, que nos dá as condições necessárias para o ótimo.

Passo 4

A Equação de Euler para um problema de otimização com função objetivo $ \int L(K, K’, t) dt $ é dada por:
integral L(K, K', t) dt
No nosso caso, a função $ L $ é:
partial Lpartial K - ddt ( partial Lpartial K' ) = 0

Passo 5

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Primeiro, a derivada de $ L $ em relação a $ K $:
L
Segundo, a derivada de $ L $ em relação a $ K’ $:
K

Passo 6

Agora, precisamos derivar $ \frac{\partial L}{\partial K’} $ em relação ao tempo:
partial Lpartial K'
Aqui, usamos a regra do produto para derivar.

Passo 7

Substituindo na Equação de Euler:
(2 - 2K) e^-t - ( -2 K'' e^-t + 2 K' e^-t ) = 0
Simplificando:
(2 - 2K) e^-t + 2 K'' e^-t - 2 K' e^-t = 0
Podemos dividir toda a equação por $ e^{-t} $:
e^-t

Passo 8

Simplificando ainda mais:
2 K'' - 2 K' - 2K + 2 = 0
Dividindo toda a equação por 2:
K'' - K' - K + 1 = 0
Essa é a nossa Equação de Euler para o problema.

Passo 9

Agora, vamos resolver a Equação Diferencial Ordinária (EDO):
K'' - K' - K + 1 = 0
Isso é uma EDO linear de segunda ordem com termos constantes. A solução geral é a soma da solução da homogênea e de uma solução particular.

Passo 10

Primeiro, resolvemos a equação homogênea associada:
K'' - K' - K = 0
Procuramos soluções da forma $ K_h = e^{\lambda t} $. Substituindo na equação:
Kh = e^lambda t
Resolvendo a equação quadrática:
lambda^2 e^lambda t - lambda e^lambda t - e^lambda t = 0 Rightarrow lambda^2 - lambda - 1 = 0
Então, a solução homogênea é:
lambda = 1 pm raiz1 + 42 = 1 pm raiz52

Passo 11

Agora, encontramos uma solução particular $ K_p $ para a equação completa. Observando que o termo não homogêneo é uma constante, tentamos $ K_p = A $, onde $ A $ é uma constante.
Substituindo na equação:
Kp
Então, $ K_p = 1 $.

Passo 12

A solução geral da EDO é a soma da solução homogênea e da particular:
K(t) = C1 e^1 + raiz52 t + C2 e^1 - raiz52 t + 1

Passo 13

Aplicamos as condições de fronteira para determinar as constantes $ C_1 $ e $ C_2 $. Primeiro, sabemos que $ \lim_{t \to \infty} K(t) = K_{\infty} < \infty $.
O termo $ e^{\frac{1 + \sqrt{5}}{2} t} $ tende ao infinito quando $ t \to \infty $, a menos que $ C_1 = 0 $.
Portanto, para que $ K(t) $ permaneça finito, temos $ C_1 = 0 $.

Passo 14

Agora, a solução simplificada é:
K(t) = C2 e^1 - raiz52 t + 1
Aplicando $ \lim_{t \to \infty} K(t) = K_{\infty} $:
limt to infty K(t) = Kinfty
Isso confirma que a solução está correta.

Passo 15

Agora, usamos a condição inicial $ K(0) = K_0 $:
K(0) = K0

Passo 16

Substituindo $ C_2 $ na expressão de $ K(t) $:
C2

Passo 17

Agora, encontramos a trajetória ótima para o investimento $ I^*(t) $. Sabemos que $ I(t) = K’(t) $. Vamos derivar $ K(t) $:
I^*(t)
Simplificando:
I(t) = K'(t)

Resposta

As trajetórias ótimas são:
K^*(t) = (K0 - 1) e^1 - raiz52 t + 1
e
I^*(t) = 1 - raiz52 (K0 - 1) e^1 - raiz52 t

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