Considere o seguinte caso particular do modelo de Eisner-Strotz:
onde
é o estoque de capital e
é o investimento.
Obtenha a Equação de Euler deste problema e obtenha as trajetórias ótimas para o capital e o investimento,
e
.
Obtenha a Equação de Euler deste problema e obtenha as trajetórias ótimas para o capital e o investimento,
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta um problema do modelo de Eisner-Strotz, que é uma forma de otimização em economia. Aqui, queremos maximizar a integral de uma função que envolve o estoque de capital $ K(t) $ e o investimento $ I(t) $. Precisamos usar conceitos de cálculo variacional e equações de Euler para encontrar as trajetórias ótimas para $ K(t) $ e $ I(t) $.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função que queremos maximizar:
Aqui, $ K(t) $ é o estoque de capital e $ K’(t) = I(t) $ é o investimento. Nosso objetivo é maximizar essa integral sujeita às condições iniciais e de limite.
Passo 3
Para resolver isso, vamos usar o cálculo variacional. A ideia é encontrar uma função $ K(t) $ que maximize a integral dada. Para isso, precisamos derivar a Equação de Euler, que nos dá as condições necessárias para o ótimo.
Passo 4
A Equação de Euler para um problema de otimização com função objetivo $ \int L(K, K’, t) dt $ é dada por:
No nosso caso, a função $ L $ é:
Passo 5
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Primeiro, a derivada de $ L $ em relação a $ K $:
Segundo, a derivada de $ L $ em relação a $ K’ $:
Passo 6
Agora, precisamos derivar $ \frac{\partial L}{\partial K’} $ em relação ao tempo:
Aqui, usamos a regra do produto para derivar.
Passo 7
Substituindo na Equação de Euler:
Simplificando:
Podemos dividir toda a equação por $ e^{-t} $:
Passo 8
Simplificando ainda mais:
Dividindo toda a equação por 2:
Essa é a nossa Equação de Euler para o problema.
Passo 9
Agora, vamos resolver a Equação Diferencial Ordinária (EDO):
Isso é uma EDO linear de segunda ordem com termos constantes. A solução geral é a soma da solução da homogênea e de uma solução particular.
Passo 10
Primeiro, resolvemos a equação homogênea associada:
Procuramos soluções da forma $ K_h = e^{\lambda t} $. Substituindo na equação:
Resolvendo a equação quadrática:
Então, a solução homogênea é:
Passo 11
Agora, encontramos uma solução particular $ K_p $ para a equação completa. Observando que o termo não homogêneo é uma constante, tentamos $ K_p = A $, onde $ A $ é uma constante.
Substituindo na equação:
Então, $ K_p = 1 $.
Passo 12
A solução geral da EDO é a soma da solução homogênea e da particular:
Passo 13
Aplicamos as condições de fronteira para determinar as constantes $ C_1 $ e $ C_2 $. Primeiro, sabemos que $ \lim_{t \to \infty} K(t) = K_{\infty} < \infty $.
O termo $ e^{\frac{1 + \sqrt{5}}{2} t} $ tende ao infinito quando $ t \to \infty $, a menos que $ C_1 = 0 $.
Portanto, para que $ K(t) $ permaneça finito, temos $ C_1 = 0 $.
Passo 14
Agora, a solução simplificada é:
Aplicando $ \lim_{t \to \infty} K(t) = K_{\infty} $:
Isso confirma que a solução está correta.
Passo 15
Agora, usamos a condição inicial $ K(0) = K_0 $:
Passo 16
Substituindo $ C_2 $ na expressão de $ K(t) $:
Passo 17
Agora, encontramos a trajetória ótima para o investimento $ I^*(t) $. Sabemos que $ I(t) = K’(t) $. Vamos derivar $ K(t) $:
Simplificando:
Resposta
As trajetórias ótimas são:
e