Seja o problema: min integral0^T[4(y^prime)^2+y] d t. Considerando as condições de contorno y(0)=0 e y(T)=4, sendo T>0 livre, encontre a trajetória y^*(t) e o tempo T^* ótimos.

Passo 1

Ok, vamos lá! A questão pede para encontrar a trajetória ótima y^*(t) e o tempo ótimo T^* que minimizam a integral integral0^T[4(y^prime)^2+y] dt, com as condições de contorno y(0)=0 e y(T)=4. Aqui estamos trabalhando com Cálculo das Variações, que nos ajuda a encontrar funções que minimizam ou maximizam certas integrais. Para resolver, vamos precisar usar a Equação de Euler-Lagrange e considerar que o tempo T também é uma variável a ser otimizada.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o que está na integral. Temos L = 4(y')^2 + y, onde L é a função lagrangiana. A equação de Euler-Lagrange nos diz que, para minimizar a integral, a seguinte condição deve ser satisfeita:
ddt(partial Lpartial y') - partial Lpartial y = 0

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias. Primeiro, calculemos partial Lpartial y':
partial Lpartial y' = partialpartial y' [4(y')^2 + y] = 8y'
Em seguida, calculemos partial Lpartial y:
partial Lpartial y = partialpartial y [4(y')^2 + y] = 1

Passo 4

Agora, substituímos essas derivadas na equação de Euler-Lagrange:
ddt(8y') - 1 = 0 8y'' - 1 = 0
Isso simplifica para:
8y'' = 1 y'' = 18

Passo 5

Agora, precisamos resolver essa equação diferencial para y(t). Vamos integrar duas vezes para encontrar y(t).
Primeira integração:
y'' = 18 y' = integral y'' dt = integral 18 dt = t8 + C1
Segunda integração:
y = integral y' dt = integral (t8 + C1) dt = t^216 + C1 t + C2

Passo 6

Agora, aplicamos as condições de contorno para encontrar as constantes C1 e C2. Sabemos que y(0) = 0 e y(T) = 4.
Primeira condição ( t=0):
y(0) = 0^216 + C1 cdot 0 + C2 = 0 C2 = 0
Segunda condição ( t=T):
y(T) = T^216 + C1 T = 4

Passo 7

Temos uma equação com duas incógnitas: C1 e T. Precisamos de outra condição para resolver. Como o tempo T também é uma variável a ser otimizada, usamos o fato de que o Hamiltoniano deve ser constante ao longo do tempo.
O Hamiltoniano H é dado por:
H = y' partial Lpartial y' - L = y' cdot 8y' - (4(y')^2 + y) = 8(y')^2 - 4(y')^2 - y = 4(y')^2 - y
Como H é constante, derivando com respeito ao tempo:
dHdt = 0 8y'y'' - y' = 0 y'(8y'' - 1) = 0
Já sabemos que 8y'' - 1 = 0, então H é constante. Avaliando H no tempo t=0:
H = 4(y'(0))^2 - y(0) H = 4(08 + C1)^2 - 0 H = 4C1^2
E no tempo t=T:
H = 4(T8 + C1)^2 - 4
Igualando os dois:
4C1^2 = 4(T8 + C1)^2 - 4 C1^2 = (T8 + C1)^2 - 1

Passo 8

Vamos expandir o lado direito da equação:
C1^2 = (T8)^2 + 2 cdot T8 cdot C1 + C1^2 - 1 C1^2 = T^264 + T4 C1 + C1^2 - 1
Subtraindo C1^2 de ambos os lados:
0 = T^264 + T4 C1 - 1

Passo 9

Agora, resolvemos para C1 em termos de T:
T^264 + T4 C1 - 1 = 0 T4 C1 = 1 - T^264 C1 = 4T (1 - T^264)

Passo 10

Vamos agora usar a equação obtida na Passo 6 para relacionar C1 e T:
T^216 + C1 T = 4
Substituindo C1:
T^216 + (4T (1 - T^264)) T = 4 T^216 + 4 (1 - T^264) = 4 T^216 + 4 - 4T^264 = 4 T^216 - T^216 + 4 = 4 0 = 0
Isso significa que a equação é satisfeita para qualquer T, o que sugere que precisamos considerar a minimização com relação a T.

Passo 11

Vamos derivar a integral original em relação a T e igualar a zero para encontrar o valor ótimo de T. A integral a minimizar é:
J = integral0^T [4(y')^2 + y] dt
Calculando a derivada de J em relação a T:
dJdT = 4(y')^2 + y
Queremos minimizar J, então definimos dJdT = 0:
4(y')^2 + y = 0
Substituindo y(T) = 4 na expressão acima:
4(y'(T))^2 + 4 = 0 4(y'(T))^2 = -4 (y'(T))^2 = -1
Isso não tem solução real, indicando que o mínimo ocorre quando o tempo T tende a infinito. Portanto, não há um tempo finito T^* que minimize a integral.

Resposta

A trajetória ótima é y^*(t) = dfract^216 + dfrac4T (1 - dfracT^264) t, e não existe um tempo ótimo finito T^* que minimize a integral dada.

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