Seja o problema:
. Considerando as condições de contorno
e
, sendo
livre, encontre a trajetória
e o tempo
ótimos.
Passo 1
Ok, vamos lá! A questão pede para encontrar a trajetória ótima
e o tempo ótimo
que minimizam a integral
, com as condições de contorno
e
. Aqui estamos trabalhando com Cálculo das Variações, que nos ajuda a encontrar funções que minimizam ou maximizam certas integrais. Para resolver, vamos precisar usar a Equação de Euler-Lagrange e considerar que o tempo
também é uma variável a ser otimizada.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o que está na integral. Temos
, onde
é a função lagrangiana. A equação de Euler-Lagrange nos diz que, para minimizar a integral, a seguinte condição deve ser satisfeita:
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias. Primeiro, calculemos
:
Em seguida, calculemos
:
Passo 4
Agora, substituímos essas derivadas na equação de Euler-Lagrange:
Isso simplifica para:
Passo 5
Agora, precisamos resolver essa equação diferencial para
. Vamos integrar duas vezes para encontrar
.
Primeira integração:
Segunda integração:
Passo 6
Agora, aplicamos as condições de contorno para encontrar as constantes
e
. Sabemos que
e
.
Primeira condição (
):
Segunda condição (
):
Passo 7
Temos uma equação com duas incógnitas:
e
. Precisamos de outra condição para resolver. Como o tempo
também é uma variável a ser otimizada, usamos o fato de que o Hamiltoniano deve ser constante ao longo do tempo.
O Hamiltoniano
é dado por:
Como
é constante, derivando com respeito ao tempo:
Já sabemos que
, então
é constante. Avaliando
no tempo
:
E no tempo
:
Igualando os dois:
Passo 8
Vamos expandir o lado direito da equação:
Subtraindo
de ambos os lados:
Passo 9
Agora, resolvemos para
em termos de
:
Passo 10
Vamos agora usar a equação obtida na Passo 6 para relacionar
e
:
Substituindo
:
Isso significa que a equação é satisfeita para qualquer
, o que sugere que precisamos considerar a minimização com relação a
.
Passo 11
Vamos derivar a integral original em relação a
e igualar a zero para encontrar o valor ótimo de
. A integral a minimizar é:
Calculando a derivada de
em relação a
:
Queremos minimizar
, então definimos
:
Substituindo
na expressão acima:
Isso não tem solução real, indicando que o mínimo ocorre quando o tempo
tende a infinito. Portanto, não há um tempo finito
que minimize a integral.
Resposta
A trajetória ótima é
, e não existe um tempo ótimo finito
que minimize a integral dada.