Dada uma fun ção
definimos o laplaciano de
como sendo
onde
é o gradiente de
. Se o laplaciano é igual a zero dizemos que
é harmônica, se
(resp.
) dizemos que
é superharmônica (resp. subharmônica). Se
então podemos afirmar que
é:
a. Nenhuma das outras alternativas.
b. Harmônica.
c. Subharmônica.
d. Não superharmônica.
e. Superharmônica.
a. Nenhuma das outras alternativas.
b. Harmônica.
c. Subharmônica.
d. Não superharmônica.
e. Superharmônica.
Passo 1
O enunciado pede para classificar a função f : D⊂ℝ³→ℝ dada por f(x,y)=e^x sin(y)+2x+2y segundo o sinal do laplaciano, sabendo que \ lap(f)=div(∇f) e que f é harmônica se lap(f)=0, superharmônica se lap(f)>0 e subharmônica se lap(f)<0.
Passo 2
Primeiro calculamos as derivadas parciais de primeira ordem. Para x temos ∇ f_x=∂f/∂x=e^x sin(y)+2 e para y temos ∂f/∂y=e^x cos(y)+2. Como f não depende de z, ∂f/∂z=0.
Passo 3
Agora calculamos as segundas derivadas: de ∂f/∂x em relação a x dá ∇^2 f_{xx}=e^x sin(y). De ∂f/∂y em relação a y dá ∂²f/∂y²=−e^x sin(y). E ∂²f/∂z²=0 pois f independe de z.
Passo 4
Somando para obter o laplaciano em ℝ³: lap(f)=∂²f/∂x²+∂²f/∂y²+∂²f/∂z²=e^x sin(y)−e^x sin(y)+0=0.
Passo 5
Como o laplaciano é zero em todo domínio, f é uma função harmônica.
Resposta
Harmônica.