Considere o seguinte caso particular do modelo de Eisner-Strotz:
& max integral0^infty[2 K-K^2-(K^prime)^2] e^-t d t & sa K(0)=K0>0 e lim t infty K(t)=Kinfty
onde K=K(t) é o estoque de capital e K^prime(t)=I(t) é o investimento.
Mostre que, quando t infty, as trajetórias ótimas obtidas no item (a) convergem para o estado estacionário obtido no item (b).

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um modelo chamado Eisner-Strotz, que envolve maximizar uma integral com relação ao estoque de capital $ K(t) $ ao longo do tempo. A função objetivo a ser maximizada é $ \int_{0}^{\infty}\left[2 K - K^{2} - \left(K’\right)^{2}\right] e^{-t} dt $, onde $ K’ = I(t) $ representa o investimento. Nosso objetivo aqui é mostrar que, quando $ t $ vai para o infinito, as trajetórias ótimas de capital $ K(t) $ convergem para um estado estacionário $ K_{\infty} $.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo de variação e controle ótimo, que nos ajudam a encontrar a melhor trajetória para maximizar a função objetivo dada as restrições propostas.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que significa uma trajetória ótima nesse contexto. Uma trajetória ótima de $ K(t) $ é aquela que maximiza a integral dada, respeitando as condições iniciais $ K(0) = K_0 $ e a condição no infinito $ \lim_{t \to \infty} K(t) = K_{\infty} $.
Para encontrar essa trajetória, vamos utilizar o Princípio do Máximo de Pontryagin, que nos permite determinar as condições necessárias para a otimização de sistemas dinâmicos. Segundo esse princípio, devemos criar um Hamiltoniano que incorpore a função objetivo e a dinâmica do sistema.
No nosso caso, o Hamiltoniano $ H $ é dado por:
K(t)
Aqui, $ \lambda(t) $ é a função de coestado que acompanha a dinâmica do sistema.

Passo 3

Agora, vamos aplicar as condições de optimalidade de Pontryagin. Temos duas equações principais:
  1. Equação do coestado:
dlambdadt = -partial Hpartial K
  1. Condição de maximização:
partial Hpartial K' = 0
Vamos calcular essas derivadas.
Primeiro, a derivada parcial do Hamiltoniano em relação a $ K $:
K
Então, a equação do coestado fica:
partial Hpartial K = (2 - 2K) e^-t
Segundo, a derivada parcial do Hamiltoniano em relação a $ K’ $:
dlambdadt = -(2 - 2K) e^-t
K'

Passo 4

Agora, temos um sistema de equações diferenciais:
  1. dlambdadt = -(2 - 2K) e^-t
  2. lambda(t) = 2 K' e^-t
Substituindo a expressão de $ \lambda(t) $ na primeira equação:
lambda(t)
Vamos derivar o lado esquerdo:
ddt(2 K' e^-t) = -2 e^-t + 2 K e^-t
Dividindo ambos os lados por $ 2 e^{-t} $:
2 K'' e^-t - 2 K' e^-t = -2 e^-t + 2 K e^-t
Isso nos dá uma equação diferencial de segunda ordem:
2 e^-t

Passo 5

Agora, precisamos resolver a equação diferencial:
K'' - K' - K + 1 = 0
Primeiro, resolvemos a equação homogênea associada:
K'' - K' - K = 0
Característica da equação:
r^2 - r - 1 = 0
r = 1 pm raiz1 + 42 = 1 pm raiz52
As soluções gerais da equação homogênea são:
Kh(t) = C1 e^(1 + raiz52) t + C2 e^(1 - raiz52) t
Agora, encontramos uma solução particular $ K_p $ para a equação completa. Supondo que $ K_p $ seja constante, substituímos na equação:
Kp
Portanto, a solução geral é:
Kp

Passo 6

Aplicamos as condições iniciais para encontrar $ C_1 $ e $ C_2 $.
Primeiro, $ K(0) = K_0 $:
C1
Segundo, a condição de limite no infinito $ \lim_{t \to \infty} K(t) = K_{\infty} $. Observamos que $ \frac{1 + \sqrt{5}}{2} > 0 $, então o termo com $ C_1 $ tende ao infinito a menos que $ C_1 = 0 $.
Para que $ K(t) $ convirja, precisamos que $ C_1 = 0 $. Assim:
C2
E usando $ C_2 = K_0 - 1 $:
K(0) = K0

Passo 7

Agora, analisamos o comportamento de $ K(t) $ quando $ t \to \infty $. O expoente $ \frac{1 - \sqrt{5}}{2} $ é negativo, já que $ \sqrt{5} > 2 $. Portanto, $ e^{\left(\frac{1 - \sqrt{5}}{2}\right) t} $ tende a zero à medida que $ t $ aumenta.
Assim:
K(t)
Portanto, $ K_{\infty} = 1 $.

Resposta

Quando $ t $ tende ao infinito, as trajetórias ótimas de capital $ K(t) $ convergem para o estado estacionário $ K_{\infty} = 1 $.

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