Considere o seguinte caso particular do modelo de Eisner-Strotz:
onde
é o estoque de capital e
é o investimento.
Mostre que, quando
, as trajetórias ótimas obtidas no item (a) convergem para o estado estacionário obtido no item (b).
Mostre que, quando
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um modelo chamado Eisner-Strotz, que envolve maximizar uma integral com relação ao estoque de capital $ K(t) $ ao longo do tempo. A função objetivo a ser maximizada é $ \int_{0}^{\infty}\left[2 K - K^{2} - \left(K’\right)^{2}\right] e^{-t} dt $, onde $ K’ = I(t) $ representa o investimento. Nosso objetivo aqui é mostrar que, quando $ t $ vai para o infinito, as trajetórias ótimas de capital $ K(t) $ convergem para um estado estacionário $ K_{\infty} $.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo de variação e controle ótimo, que nos ajudam a encontrar a melhor trajetória para maximizar a função objetivo dada as restrições propostas.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que significa uma trajetória ótima nesse contexto. Uma trajetória ótima de $ K(t) $ é aquela que maximiza a integral dada, respeitando as condições iniciais $ K(0) = K_0 $ e a condição no infinito $ \lim_{t \to \infty} K(t) = K_{\infty} $.
Para encontrar essa trajetória, vamos utilizar o Princípio do Máximo de Pontryagin, que nos permite determinar as condições necessárias para a otimização de sistemas dinâmicos. Segundo esse princípio, devemos criar um Hamiltoniano que incorpore a função objetivo e a dinâmica do sistema.
No nosso caso, o Hamiltoniano $ H $ é dado por:
Aqui, $ \lambda(t) $ é a função de coestado que acompanha a dinâmica do sistema.
Passo 3
Agora, vamos aplicar as condições de optimalidade de Pontryagin. Temos duas equações principais:
- Equação do coestado:
- Condição de maximização:
Vamos calcular essas derivadas.
Primeiro, a derivada parcial do Hamiltoniano em relação a $ K $:
Então, a equação do coestado fica:
Segundo, a derivada parcial do Hamiltoniano em relação a $ K’ $:
Passo 4
Agora, temos um sistema de equações diferenciais:
Substituindo a expressão de $ \lambda(t) $ na primeira equação:
Vamos derivar o lado esquerdo:
Dividindo ambos os lados por $ 2 e^{-t} $:
Isso nos dá uma equação diferencial de segunda ordem:
Passo 5
Agora, precisamos resolver a equação diferencial:
Primeiro, resolvemos a equação homogênea associada:
Característica da equação:
As soluções gerais da equação homogênea são:
Agora, encontramos uma solução particular $ K_p $ para a equação completa. Supondo que $ K_p $ seja constante, substituímos na equação:
Portanto, a solução geral é:
Passo 6
Aplicamos as condições iniciais para encontrar $ C_1 $ e $ C_2 $.
Primeiro, $ K(0) = K_0 $:
Segundo, a condição de limite no infinito $ \lim_{t \to \infty} K(t) = K_{\infty} $. Observamos que $ \frac{1 + \sqrt{5}}{2} > 0 $, então o termo com $ C_1 $ tende ao infinito a menos que $ C_1 = 0 $.
Para que $ K(t) $ convirja, precisamos que $ C_1 = 0 $. Assim:
E usando $ C_2 = K_0 - 1 $:
Passo 7
Agora, analisamos o comportamento de $ K(t) $ quando $ t \to \infty $. O expoente $ \frac{1 - \sqrt{5}}{2} $ é negativo, já que $ \sqrt{5} > 2 $. Portanto, $ e^{\left(\frac{1 - \sqrt{5}}{2}\right) t} $ tende a zero à medida que $ t $ aumenta.
Assim:
Portanto, $ K_{\infty} = 1 $.
Resposta
Quando $ t $ tende ao infinito, as trajetórias ótimas de capital $ K(t) $ convergem para o estado estacionário $ K_{\infty} = 1 $.