Uma pequena esfera de dimensões desprezíveis, de massa m e velocidade de módulo v_{1 i}=3 \mathrm{~m} / \mathrm{s} (esfera 1), colide com uma outra, também de dimensões desprezíveis e de massa 2 m, que está inicialmente em repouso (esfera 2). Considere eixos coordenados \mathcal{O} \mathcal{X} \mathcal{Y} de modo que o eixo \mathcal{O} \mathcal{X} esteja na direção e no sentido da velocidade da esfera incidente. Escolha a origem \mathcal{O} na posição onde ocorre a colisão entre as esferas e o instante t=0 como aquele em que ocorre a colisão (como de costuem, estamos supondo que o tempo de colisão seja desprezível). No instante t_{b}=2 \mathrm{~s} verifica-se que a esfera incidente se encontra na posição \mathbf{r}_{1 b}=-3 \mathrm{~m} \hat{\mathbf{u}}_{y}.
(a) Determine a velocidade do centro de massa do sistema formado pelas duas esferas antes da colisão. Determine a posição do centro de massa no instante t_{b}.
(b) Determine as velocidades das duas esferas após a colisão e o ângulo \theta que a trajetória da esfera de massa 2 m faz com o eixo \mathcal{O} \mathcal{X}. Faça um desenho esquemático da colisão indicando as posições e as velocidades das duas esferas nos instantes t_{a}=-1 e t_{b}=1. Indique, ainda, as posições do centro de massa nesses dois instantes.
(c) Determine a posição da esfera 2 no instante t_{b}. A partir desses resultados verifique que as duas esferas e o centro de massa estão sobre uma mesma reta, como esperado.
(d) Calcule o fator Q dessa colisão supondo que m=(1 / 9) \mathrm{kg}.

Passo 1

Dados fornecidos e o que o enunciado pede:
  • Duas esferas de dimensões desprezíveis:
    • Esfera 1: massa \,m, velocidade inicial de módulo \,v_{1i}=3\\ \mathrm{m/s} na direção positiva do eixo \mathcal{O}\mathcal{X} (ou seja, \mathbf{v}_{1i}=3\,\hat{\mathbf{u}}_{x}).
    • Esfera 2: massa \,2m, inicialmente em repouso ( \mathbf{v}_{2i}=\mathbf{0}).
  • Origem \mathcal{O} e instante t=0 são, respectivamente, o ponto e o instante da colisão.
  • Foi dado que no instante t_{b}=2\\ \mathrm{s} a esfera incidente (esfera 1) está na posição \mathbf{r}_{1b}=-3\\ \mathrm{m}\,\hat{\mathbf{u}}_{y}.
O que é pedido:
(a) Determinar a velocidade do centro de massa do sistema antes da colisão e a posição do centro de massa no instante t_{b}.
(b) Determinar as velocidades das duas esferas após a colisão e o ângulo \theta que a trajetória da esfera de massa 2m faz com o eixo \mathcal{O}\mathcal{X}. Fazer um desenho esquemático (descreveremos as posições e vetores) indicando posições e velocidades nos instantes t_{a}=-1\\ \mathrm{s} e t_{b}=1\\ \mathrm{s}; indicar também as posições do centro de massa nesses instantes.
(c) Determinar a posição da esfera 2 no instante t_{b}=2\\ \mathrm{s} (o t_{b} inicial do enunciado) e verificar que as duas esferas e o centro de massa estão sobre a mesma reta.
(d) Calcular o fator Q dessa colisão supondo que m=1/9\\ \mathrm{kg}.
Observações importantes (não resolutivas): temos informação suficiente porque a posição da esfera 1 em t=2\\ \mathrm{s} permite obter sua velocidade pós-colisão; usaremos conservação do momento linear (vetorial) para achar a velocidade da esfera 2.

Passo 2

Velocidade do centro de massa antes da colisão.
Conceito / fórmula: a velocidade do centro de massa de um sistema de partículas é dada por
\mathbf{v}_{\mathrm{CM}}=\frac{\sum_i m_i\mathbf{v}_i}{\sum_i m_i},
onde m_i é a massa da i-ésima partícula e \mathbf{v}_i sua velocidade.
Aplicando aos dois corpos, antes da colisão:
  • momento total inicial \mathbf{P}_{i}=m\mathbf{v}_{1i}+2m\mathbf{v}_{2i}=m\cdot 3\,\hat{\mathbf{u}}_{x}+2m\cdot\mathbf{0}=3m\,\hat{\mathbf{u}}_{x}.
  • massa total M_{\mathrm{tot}}=m+2m=3m.
Logo
\mathbf{v}_{\mathrm{CM}}=\frac{\mathbf{P}_{i}}{M_{\mathrm{tot}}}=\frac{3m\,\hat{\mathbf{u}}_{x}}{3m}=1\,\hat{\mathbf{u}}_{x}\\ \mathrm{m/s}.
Posição do centro de massa no instante t_{b}=2\\ \mathrm{s}.
Conceito: se a força externa resultante sobre o sistema é nula (ou desprezível durante a colisão considerada instantânea), o centro de massa move-se com velocidade constante \mathbf{v}_{\mathrm{CM}}. Como a colisão ocorre em t=0 no ponto \mathcal{O}, a posição do centro de massa naquele instante é \mathbf{r}_{\mathrm{CM}}(0)=\mathbf{0}. Então, para tempo t,
\mathbf{r}_{\mathrm{CM}}(t)=\mathbf{r}_{\mathrm{CM}}(0)+\mathbf{v}_{\mathrm{CM}}\,t=\mathbf{v}_{\mathrm{CM}}\,t.
Para t_{b}=2\\ \mathrm{s},
\mathbf{r}_{\mathrm{CM}}(t_{b})=1\,\hat{\mathbf{u}}_{x}\times 2 =2\,\hat{\mathbf{u}}_{x}\\ \mathrm{m}.

Passo 3

Determinação da velocidade da esfera 1 após a colisão usando a posição dada em t_{b}=2\\ \mathrm{s}.
Raciocínio: após a colisão, entre instantes posteriores (colisão instantânea), cada esfera move-se com velocidade constante (não há forças externas significativas agindo depois). Temos a posição da esfera 1 em t=2\\ \mathrm{s}:
\mathbf{r}_{1}(2\\ \mathrm{s})=\mathbf{r}_{1b}=-3\,\hat{\mathbf{u}}_{y}\\ \mathrm{m}.
Como a colisão ocorreu em t=0 no ponto \mathbf{0}, a velocidade constante da esfera 1 para t>0 é simplesmente
\mathbf{v}_{1f}=\frac{\mathbf{r}_{1}(2)-\mathbf{r}_{1}(0)}{2\\ \mathrm{s}}=\frac{-3\,\hat{\mathbf{u}}_{y}-\mathbf{0}}{2}=-1,5\,\hat{\mathbf{u}}_{y}\\ \mathrm{m/s}.
Portanto, a esfera 1 saiu da colisão movendo-se na direção negativa de y com velocidade -1,5\,\hat{\mathbf{u}}_{y}\\ \mathrm{m/s}.

Passo 4

Usar conservação do momento linear vetorial para encontrar a velocidade da esfera 2 após a colisão.
Conceito / fórmula: momento linear total antes = momento linear total depois, vetorialmente:
m\mathbf{v}_{1i}+2m\mathbf{v}_{2i}=m\mathbf{v}_{1f}+2m\mathbf{v}_{2f}.
Como \mathbf{v}_{2i}=\mathbf{0}, obtemos
m\mathbf{v}_{1i}=m\mathbf{v}_{1f}+2m\mathbf{v}_{2f}.
Dividindo por m:
\mathbf{v}_{1i}=\mathbf{v}_{1f}+2\mathbf{v}_{2f}.
Isolando \mathbf{v}_{2f}:
\mathbf{v}_{2f}=\tfrac{1}{2}\big(\mathbf{v}_{1i}-\mathbf{v}_{1f}\big).
Substituindo vetores conhecidos:
\mathbf{v}_{1i}=3\,\hat{\mathbf{u}}_{x},\qquad \mathbf{v}_{1f}=-1,5\,\hat{\mathbf{u}}_{y}.
Então
\mathbf{v}_{2f}=\tfrac{1}{2}\big(3\,\hat{\mathbf{u}}_{x}-(-1,5\,\hat{\mathbf{u}}_{y})\big) =\tfrac{1}{2}\big(3\,\hat{\mathbf{u}}_{x}+1,5\,\hat{\mathbf{u}}_{y}\big).
Fazendo a divisão por 2:
\mathbf{v}_{2f}=1,5\,\hat{\mathbf{u}}_{x}+0,75\,\hat{\mathbf{u}}_{y}\\ \mathrm{m/s}.
Também podemos computar a velocidade escalar (módulo) da esfera 2:
v_{2f}=\sqrt{(1,5)^{2}+(0,75)^{2}}=\sqrt{2,25+0,5625}=\sqrt{2,8125}\approx 1,677\\ \mathrm{m/s}.

Passo 5

Cálculo do ângulo \theta da trajetória da esfera 2 com o eixo \mathcal{O}\mathcal{X}.
Conceito: o ângulo com o eixo x é dado por
\theta=\arctan\!\left(\frac{v_{2y}}{v_{2x}}\right).
Aqui v_{2x}=1,5 e v_{2y}=0,75, logo
\theta=\arctan\!\left(\frac{0,75}{1,5}\right)=\arctan\!\left(\tfrac{1}{2}\right)\approx 26,57^\circ.
Explicação rápida: \arctan(1/2) é o ângulo cuja tangente vale 0,5; em graus isto é aproximadamente 26,57^\circ.

Passo 6

Análise energética: verificar se a colisão é elástica e preparar cálculo do Q (energia perdida).
Energia cinética inicial (apenas esfera 1 tem energia antes):
K_{i}=\tfrac{1}{2}m v_{1i}^{2}=\tfrac{1}{2}m(3)^{2}=\tfrac{9}{2}m=4,5\,m.
Energia cinética final:
  • esfera 1:
K_{1f}=\tfrac{1}{2}m v_{1f}^{2}=\tfrac{1}{2}m(1,5)^{2}=\tfrac{1}{2}m\cdot 2,25=1,125\,m.
  • esfera 2:
K_{2f}=\tfrac{1}{2}(2m) v_{2f}^{2}=m\,v_{2f}^{2}=m\cdot 2,8125=2,8125\,m,
pois v_{2f}^{2}=2,8125 (como calculado no passo anterior).
Energia cinética total final:
K_{f}=K_{1f}+K_{2f}=1,125\,m+2,8125\,m=3,9375\,m.
Comparação:
K_{i}=4,5\,m\quad\text{e}\quad K_{f}=3,9375\,m.
Como K_{f}<K_{i}, a colisão é inelástica e houve perda de energia cinética.

Passo 7

Desenho esquemático descrito (posições e velocidades nos instantes t_{a}=-1\\ \mathrm{s} e t_{b}=1\\ \mathrm{s}; posições do centro de massa nesses instantes).
Primeiro calculamos as posições usando movimentos retilíneos uniformes antes e depois da colisão:
  • Antes (para t<0):
    • Esfera 1: \mathbf{v}_{1i}=3\,\hat{\mathbf{u}}_{x}. Em t_{a}=-1\\ \mathrm{s}, posição: \mathbf{r}_{1}(-1)=\mathbf{r}_{1}(0)+\mathbf{v}_{1i}\cdot(-1)=\mathbf{0}+3\cdot(-1)\,\hat{\mathbf{u}}_{x}=-3\,\hat{\mathbf{u}}_{x}\\ \mathrm{m}.
    • Esfera 2: estava em repouso em torno da origem até a colisão, então em t_{a}=-1\\ \mathrm{s}, \mathbf{r}_{2}(-1)=\mathbf{0}.
    • Centro de massa (velocidade \mathbf{v}_{\mathrm{CM}}=1\,\hat{\mathbf{u}}_{x}): em t_{a}=-1\\ \mathrm{s}, \mathbf{r}_{\mathrm{CM}}(-1)=1\cdot(-1)\,\hat{\mathbf{u}}_{x}=-1\,\hat{\mathbf{u}}_{x}\\ \mathrm{m}.
  • Depois (para t>0):
    • Em t_{b}=1\\ \mathrm{s},
      • Esfera 1: \mathbf{v}_{1f}=-1,5\,\hat{\mathbf{u}}_{y} \mathbf{r}_{1}(1)=\mathbf{0}+(-1,5)\cdot 1\,\hat{\mathbf{u}}_{y}=-1,5\,\hat{\mathbf{u}}_{y}\\ \mathrm{m}.
      • Esfera 2: \mathbf{v}_{2f}=1,5\,\hat{\mathbf{u}}_{x}+0,75\,\hat{\mathbf{u}}_{y} \mathbf{r}_{2}(1)=1,5\,\hat{\mathbf{u}}_{x}+0,75\,\hat{\mathbf{u}}_{y}\\ \mathrm{m}.
      • Centro de massa: \mathbf{r}_{\mathrm{CM}}(1)=1\cdot 1\,\hat{\mathbf{u}}_{x}=1\,\hat{\mathbf{u}}_{x}\\ \mathrm{m}.
Descrição esquemática (para desenhar na prova):
  • Eixo x horizontal, eixo y vertical.
  • Em t=-1:
    • Esfera 1 em x=-3 com seta para a direita de comprimento proporcional a 3.
    • Esfera 2 em origem com velocidade zero (ponto).
    • Centro de massa em x=-1.
  • Em t=1:
    • Esfera 1 em y=-1,5 (abaixo da origem) com seta para baixo de comprimento proporcional a 1,5.
    • Esfera 2 em (1,\,0,75) com seta que tem componente para a direita e para cima (proporções 1,5 e 0,75).
    • Centro de massa em x=1.
  • Indique as setas de velocidade nos pontos conforme os vetores \mathbf{v}_{1i},\mathbf{v}_{1f},\mathbf{v}_{2f} e marque os pontos do centro de massa.

Passo 8

Posição da esfera 2 no instante t_{b}=2\\ \mathrm{s} (o t_{b} dado no enunciado) e verificação da colinearidade.
Posição da esfera 2 em t=2\\ \mathrm{s}:
\mathbf{r}_{2}(2)=\mathbf{v}_{2f}\cdot 2 =2\big(1,5\,\hat{\mathbf{u}}_{x}+0,75\,\hat{\mathbf{u}}_{y}\big)=3\,\hat{\mathbf{u}}_{x}+1,5\,\hat{\mathbf{u}}_{y}\\ \mathrm{m}.
Relembrando:
\mathbf{r}_{1}(2)=-3\,\hat{\mathbf{u}}_{y},\qquad \mathbf{r}_{2}(2)=3\,\hat{\mathbf{u}}_{x}+1,5\,\hat{\mathbf{u}}_{y},\qquad \mathbf{r}_{\mathrm{CM}}(2)=2\,\hat{\mathbf{u}}_{x}.
Verificação de colinearidade (método das declividades / verificação vetorial):
  • Declividade entre \mathbf{r}_{\mathrm{CM}}(2)=(2,0) e \mathbf{r}_{1}(2)=(0,-3): m_{CM,1}=\frac{-3-0}{0-2}=\frac{-3}{-2}=1,5.
  • Declividade entre \mathbf{r}_{\mathrm{CM}}(2)=(2,0) e \mathbf{r}_{2}(2)=(3,1,5): m_{CM,2}=\frac{1,5-0}{3-2}=1,5.
Como as declividades coincidem, os três pontos estão sobre a mesma reta. Alternativamente, os vetores \mathbf{r}_{1}(2)-\mathbf{r}_{\mathrm{CM}}(2) e \mathbf{r}_{2}(2)-\mathbf{r}_{\mathrm{CM}}(2) são proporcionais, o que confirma a colinearidade.

Passo 9

Cálculo do fator Q supondo m=1/9\\ \mathrm{kg}.
Interpretação: aqui Q corresponde à energia dissipada (perda de energia cinética) na colisão, isto é,
Q=K_{i}-K_{f}.
Usando os valores obtidos no Passo 6, em termos de m:
K_{i}=4,5\,m,\qquad K_{f}=3,9375\,m,
então
Q=(4,5-3,9375)\,m=0,5625\,m.
Com m=\tfrac{1}{9}\\ \mathrm{kg}:
Q=0,5625\times \tfrac{1}{9}=0,0625\\ \mathrm{J}.

Resposta

(a) \mathbf{v}_{\mathrm{CM}}=1\,\hat{\mathbf{u}}_{x}\\ \mathrm{m/s}. \mathbf{r}_{\mathrm{CM}}(t_{b}=2\\ \mathrm{s})=2\,\hat{\mathbf{u}}_{x}\\ \mathrm{m}.
(b) \mathbf{v}_{1f}=-1,5\,\hat{\mathbf{u}}_{y}\\ \mathrm{m/s}. \mathbf{v}_{2f}=1,5\,\hat{\mathbf{u}}_{x}+0,75\,\hat{\mathbf{u}}_{y}\\ \mathrm{m/s}. \theta\approx 26,57^\circ.
(c) \mathbf{r}_{2}(t_{b}=2\\ \mathrm{s})=3\,\hat{\mathbf{u}}_{x}+1,5\,\hat{\mathbf{u}}_{y}\\ \mathrm{m}. As três posições ( \mathbf{r}_{1}(2),\mathbf{r}_{2}(2),\mathbf{r}_{\mathrm{CM}}(2)) são colineares.
(d) Q=0,0625\\ \mathrm{J}.

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