Uma pequena esfera de dimensões desprezíveis, de massa
e velocidade de módulo
(esfera 1), colide com uma outra, também de dimensões desprezíveis e de massa
, que está inicialmente em repouso (esfera 2). Considere eixos coordenados
de modo que o eixo
esteja na direção e no sentido da velocidade da esfera incidente. Escolha a origem
na posição onde ocorre a colisão entre as esferas e o instante
como aquele em que ocorre a colisão (como de costuem, estamos supondo que o tempo de colisão seja desprezível). No instante
verifica-se que a esfera incidente se encontra na posição
.
(a) Determine a velocidade do centro de massa do sistema formado pelas duas esferas antes da colisão. Determine a posição do centro de massa no instante
.
(b) Determine as velocidades das duas esferas após a colisão e o ângulo
que a trajetória da esfera de massa
faz com o eixo
. Faça um desenho esquemático da colisão indicando as posições e as velocidades das duas esferas nos instantes
e
. Indique, ainda, as posições do centro de massa nesses dois instantes.
(c) Determine a posição da esfera 2 no instante
. A partir desses resultados verifique que as duas esferas e o centro de massa estão sobre uma mesma reta, como esperado.
(d) Calcule o fator
dessa colisão supondo que
.
(a) Determine a velocidade do centro de massa do sistema formado pelas duas esferas antes da colisão. Determine a posição do centro de massa no instante
(b) Determine as velocidades das duas esferas após a colisão e o ângulo
(c) Determine a posição da esfera 2 no instante
(d) Calcule o fator
Passo 1
Dados fornecidos e o que o enunciado pede:
- Duas esferas de dimensões desprezíveis:
- Esfera 1: massa
, velocidade inicial de módulo na direção positiva do eixo (ou seja, ). - Esfera 2: massa
, inicialmente em repouso ( ).
- Esfera 1: massa
- Origem
e instante são, respectivamente, o ponto e o instante da colisão. - Foi dado que no instante
a esfera incidente (esfera 1) está na posição .
O que é pedido:
(a) Determinar a velocidade do centro de massa do sistema antes da colisão e a posição do centro de massa no instante .
(b) Determinar as velocidades das duas esferas após a colisão e o ângulo que a trajetória da esfera de massa
faz com o eixo
. Fazer um desenho esquemático (descreveremos as posições e vetores) indicando posições e velocidades nos instantes
e
; indicar também as posições do centro de massa nesses instantes.
(c) Determinar a posição da esfera 2 no instante (o
inicial do enunciado) e verificar que as duas esferas e o centro de massa estão sobre a mesma reta.
(d) Calcular o fator dessa colisão supondo que
.
(a) Determinar a velocidade do centro de massa do sistema antes da colisão e a posição do centro de massa no instante
(b) Determinar as velocidades das duas esferas após a colisão e o ângulo
(c) Determinar a posição da esfera 2 no instante
(d) Calcular o fator
Observações importantes (não resolutivas): temos informação suficiente porque a posição da esfera 1 em
permite obter sua velocidade pós-colisão; usaremos conservação do momento linear (vetorial) para achar a velocidade da esfera 2.
Passo 2
Velocidade do centro de massa antes da colisão.
Conceito / fórmula: a velocidade do centro de massa de um sistema de partículas é dada por
onde
é a massa da
-ésima partícula e
sua velocidade.
Aplicando aos dois corpos, antes da colisão:
- momento total inicial
- massa total
Logo
Posição do centro de massa no instante
.
Conceito: se a força externa resultante sobre o sistema é nula (ou desprezível durante a colisão considerada instantânea), o centro de massa move-se com velocidade constante
. Como a colisão ocorre em
no ponto
, a posição do centro de massa naquele instante é
. Então, para tempo
,
Para
,
Passo 3
Determinação da velocidade da esfera 1 após a colisão usando a posição dada em
.
Raciocínio: após a colisão, entre instantes posteriores (colisão instantânea), cada esfera move-se com velocidade constante (não há forças externas significativas agindo depois). Temos a posição da esfera 1 em
:
Como a colisão ocorreu em
no ponto
, a velocidade constante da esfera 1 para
é simplesmente
Portanto, a esfera 1 saiu da colisão movendo-se na direção negativa de
com velocidade
.
Passo 4
Usar conservação do momento linear vetorial para encontrar a velocidade da esfera 2 após a colisão.
Conceito / fórmula: momento linear total antes = momento linear total depois, vetorialmente:
Como
, obtemos
Dividindo por
:
Isolando
:
Substituindo vetores conhecidos:
Então
Fazendo a divisão por
:
Também podemos computar a velocidade escalar (módulo) da esfera 2:
Passo 5
Cálculo do ângulo
da trajetória da esfera 2 com o eixo
.
Conceito: o ângulo com o eixo
é dado por
Aqui
e
, logo
Explicação rápida:
é o ângulo cuja tangente vale
; em graus isto é aproximadamente
.
Passo 6
Análise energética: verificar se a colisão é elástica e preparar cálculo do
(energia perdida).
Energia cinética inicial (apenas esfera 1 tem energia antes):
Energia cinética final:
- esfera 1:
- esfera 2:
pois
(como calculado no passo anterior).
Energia cinética total final:
Comparação:
Como
, a colisão é inelástica e houve perda de energia cinética.
Passo 7
Desenho esquemático descrito (posições e velocidades nos instantes
e
; posições do centro de massa nesses instantes).
Primeiro calculamos as posições usando movimentos retilíneos uniformes antes e depois da colisão:
-
Antes (para
): - Esfera 1:
. Em , posição: - Esfera 2: estava em repouso em torno da origem até a colisão, então em
, - Centro de massa (velocidade
): em ,
- Esfera 1:
-
Depois (para
): - Em
, - Esfera 1:
dá - Esfera 2:
dá - Centro de massa:
- Esfera 1:
- Em
Descrição esquemática (para desenhar na prova):
- Eixo
horizontal, eixo vertical. - Em
: - Esfera 1 em
com seta para a direita de comprimento proporcional a . - Esfera 2 em origem com velocidade zero (ponto).
- Centro de massa em
.
- Esfera 1 em
- Em
: - Esfera 1 em
(abaixo da origem) com seta para baixo de comprimento proporcional a . - Esfera 2 em
com seta que tem componente para a direita e para cima (proporções e ). - Centro de massa em
.
- Esfera 1 em
- Indique as setas de velocidade nos pontos conforme os vetores
e marque os pontos do centro de massa.
Passo 8
Posição da esfera 2 no instante
(o
dado no enunciado) e verificação da colinearidade.
Posição da esfera 2 em
:
Relembrando:
Verificação de colinearidade (método das declividades / verificação vetorial):
- Declividade entre
e : - Declividade entre
e :
Como as declividades coincidem, os três pontos estão sobre a mesma reta. Alternativamente, os vetores
e
são proporcionais, o que confirma a colinearidade.
Passo 9
Cálculo do fator
supondo
.
Interpretação: aqui
corresponde à energia dissipada (perda de energia cinética) na colisão, isto é,
Usando os valores obtidos no Passo 6, em termos de
:
então
Com
:
Resposta
(a)
(b)
(c)
As três posições (
) são colineares.
(d)