Considere o seguinte conjunto: C=\left\{(x, y) ; x^{2}-2 x-1 \leq y \leq \min \{x+17,-x+19\}\right\}. Analise a veracidade das seguintes afirmações:
(1) O valor mínimo da coordenada horizontal de C é -3;
(2) O valor máximo da coordenada vertical de C é 15;
(3) O valor mínimo da coordenada vertical de C é -2;
(4) A interseção de C com o eixo vertical determina um segmento de comprimento 18.
(c) O valor máximo da coordenada horizontal de C é 19;

Passo 1

O conjunto é
C=\{(x,y)\;;\;x^{2}-2x-1\le y\le \min\{x+17,\,-x+19\}\}.
O enunciado pede que verifiquemos a veracidade de cinco afirmações:
(1) O valor mínimo da coordenada horizontal de C é -3.
(2) O valor máximo da coordenada vertical de C é 15.
(3) O valor mínimo da coordenada vertical de C é -2.
(4) A interseção de C com o eixo vertical determina um segmento de comprimento 18.
(c) O valor máximo da coordenada horizontal de C é 19.
As informações relevantes do enunciado que vamos usar: a função inferior (parábola) é p(x)=x^{2}-2x-1 e as duas possíveis funções superiores são u_1(x)=x+17 e u_2(x)=-x+19; para que exista y em C num dado x precisamos ter p(x)\le \min\{u_1(x),u_2(x)\}.

Passo 2

Transformar a condição de existência de y.
Para existir y tal que p(x)\le y\le \min\{u_1(x),u_2(x)\} é necessário e suficiente que
p(x)\le u_1(x)\quad\text{e}\quad p(x)\le u_2(x).
Vamos resolver cada desigualdade para obter o intervalo de x (domínio horizontal de C).
Resolver p(x)\le u_1(x):
x^{2}-2x-1\le x+17 \iff x^{2}-3x-18\le0.
Fatora-se:
x^{2}-3x-18=(x-6)(x+3).
Uma quadrática com raízes x=-3 e x=6 e coeficiente principal positivo é não positiva entre as raízes. Portanto
x\in[-3,6].

Passo 3

Resolver p(x)\le u_2(x):
x^{2}-2x-1\le -x+19 \iff x^{2}-x-20\le0.
Fatora-se:
x^{2}-x-20=(x-5)(x+4).
As raízes são x=-4 e x=5. Assim a desigualdade vale para
x\in[-4,5].

Passo 4

Intersecção dos dois intervalos obtidos.
Para que ambas desigualdades sejam verdadeiras simultaneamente precisamos de
x\in[-3,6]\cap[-4,5]=[-3,5].
Portanto o conjunto C existe apenas para x entre -3 e 5. Disto segue que o valor mínimo da coordenada horizontal de C é -3 e o valor máximo é 5. (Anotei isso porque várias afirmações falam de coordenada horizontal.)

Passo 5

Determinar a fronteira superior u(x)=\min\{u_1(x),u_2(x)\}.
As duas retas u_1(x)=x+17 e u_2(x)=-x+19 se cruzam quando
x+17=-x+19 \iff 2x=2 \iff x=1.
Para x\le1 tem-se u(x)=u_1(x)=x+17. Para x\ge1 tem-se u(x)=u_2(x)=-x+19. Logo u(x) é a função peça-por-peça
u(x)=\begin{cases} x+17, & x\le1,\\[4pt] -x+19, & x\ge1. \end{cases}]

Passo 6

Máximo vertical de C.
O maior valor possível de y em C para um dado x é u(x), então o máximo vertical de C é o máximo da função u(x) no intervalo de x [-3,5].
Analisando u(x) peça a peça: em [-3,1] temos u(x)=x+17, que é crescente (inclinação +1), logo atinge seu máximo em x=1 com valor u(1)=1+17=18. Em [1,5] temos u(x)=-x+19, que é decrescente (inclinação -1), logo atinge seu máximo também em x=1 com u(1)=18. Portanto o máximo global de u em [-3,5] é 18.
Verificação de consistência: a parábola em x=1 vale p(1)=1-2-1=-2, e como -2\le18 existe y=18 em C na vertical x=1. Assim o valor máximo da coordenada vertical de C é 18.

Passo 7

Mínimo vertical de C.
Como y\ge p(x) para todo ponto de C, o menor valor vertical possível será o mínimo da parábola p(x)=x^{2}-2x-1 no intervalo de x permitido [-3,5].
Para uma parábola ax^{2}+bx+c com a>0 o vértice (mínimo) ocorre em
x_v=-\frac{b}{2a}.
Aqui a=1 e b=-2, então
x_v=-\frac{-2}{2\cdot1}=1.
Como x_v=1\in[-3,5], o mínimo de p no intervalo é p(1):
p(1)=1^{2}-2\cdot1-1=-2.
Portanto o valor mínimo da coordenada vertical de C é -2.

Passo 8

Interseção com o eixo vertical ( x=0).
Tomamos x=0 e avaliamos as fronteiras:
p(0)=0^{2}-2\cdot0-1=-1,
u_1(0)=0+17=17,\qquad u_2(0)=-0+19=19,
u(0)=\min\{17,19\}=17.
Logo C\cap\{x=0\}=\{(0,y)\;;\; -1\le y\le17\}, que é um segmento vertical de comprimento
17-(-1)=18.
Portanto a interseção com o eixo vertical é um segmento de comprimento 18.

Passo 9

Concluímos os dados numéricos necessários para verificar as afirmações:
  • coordenada horizontal mínima de C: -3;
  • coordenada horizontal máxima de C: 5;
  • coordenada vertical máxima de C: 18;
  • coordenada vertical mínima de C: -2;
  • comprimento da interseção com o eixo vertical: 18.

Resposta

(1) Verdadeiro
(2) Falso
(3) Verdadeiro
(4) Verdadeiro
(c) Falso

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