Considere o seguinte conjunto:
. Analise a veracidade das seguintes afirmações:
(1) O valor mínimo da coordenada horizontal de
é -3;
(2) O valor máximo da coordenada vertical de
é 15;
(3) O valor mínimo da coordenada vertical de
é -2;
(4) A interseção de
com o eixo vertical determina um segmento de comprimento 18.
(c) O valor máximo da coordenada horizontal de
é 19;
(1) O valor mínimo da coordenada horizontal de
(2) O valor máximo da coordenada vertical de
(3) O valor mínimo da coordenada vertical de
(4) A interseção de
(c) O valor máximo da coordenada horizontal de
Passo 1
O conjunto é
O enunciado pede que verifiquemos a veracidade de cinco afirmações:
(1) O valor mínimo da coordenada horizontal de é
.
(2) O valor máximo da coordenada vertical de é
.
(3) O valor mínimo da coordenada vertical de é
.
(4) A interseção de com o eixo vertical determina um segmento de comprimento
.
(c) O valor máximo da coordenada horizontal de é
.
(1) O valor mínimo da coordenada horizontal de
(2) O valor máximo da coordenada vertical de
(3) O valor mínimo da coordenada vertical de
(4) A interseção de
(c) O valor máximo da coordenada horizontal de
As informações relevantes do enunciado que vamos usar: a função inferior (parábola) é
e as duas possíveis funções superiores são
e
; para que exista
em
num dado
precisamos ter
.
Passo 2
Transformar a condição de existência de
.
Para existir tal que
é necessário e suficiente que
Para existir
Vamos resolver cada desigualdade para obter o intervalo de
(domínio horizontal de
).
Resolver
:
Fatora-se:
Uma quadrática com raízes
e
e coeficiente principal positivo é não positiva entre as raízes. Portanto
Passo 3
Resolver
:
Fatora-se:
As raízes são
e
. Assim a desigualdade vale para
Passo 4
Intersecção dos dois intervalos obtidos.
Para que ambas desigualdades sejam verdadeiras simultaneamente precisamos de
Para que ambas desigualdades sejam verdadeiras simultaneamente precisamos de
Portanto o conjunto
existe apenas para
entre
e
. Disto segue que o valor mínimo da coordenada horizontal de
é
e o valor máximo é
. (Anotei isso porque várias afirmações falam de coordenada horizontal.)
Passo 5
Determinar a fronteira superior
.
As duas retas e
se cruzam quando
As duas retas
Para
tem-se
. Para
tem-se
. Logo
é a função peça-por-peça
Passo 6
Máximo vertical de
.
O maior valor possível de em
para um dado
é
, então o máximo vertical de
é o máximo da função
no intervalo de
.
O maior valor possível de
Analisando
peça a peça: em
temos
, que é crescente (inclinação
), logo atinge seu máximo em
com valor
. Em
temos
, que é decrescente (inclinação
), logo atinge seu máximo também em
com
. Portanto o máximo global de
em
é
.
Verificação de consistência: a parábola em
vale
, e como
existe
em
na vertical
. Assim o valor máximo da coordenada vertical de
é
.
Passo 7
Mínimo vertical de
.
Como para todo ponto de
, o menor valor vertical possível será o mínimo da parábola
no intervalo de
permitido
.
Como
Para uma parábola
com
o vértice (mínimo) ocorre em
Aqui
e
, então
Como
, o mínimo de
no intervalo é
:
Portanto o valor mínimo da coordenada vertical de
é
.
Passo 8
Interseção com o eixo vertical (
).
Tomamos e avaliamos as fronteiras:
Tomamos
Logo
, que é um segmento vertical de comprimento
Portanto a interseção com o eixo vertical é um segmento de comprimento
.
Passo 9
Concluímos os dados numéricos necessários para verificar as afirmações:
- coordenada horizontal mínima de
: ; - coordenada horizontal máxima de
: ; - coordenada vertical máxima de
: ; - coordenada vertical mínima de
: ; - comprimento da interseção com o eixo vertical:
.
Resposta
(1) Verdadeiro
(2) Falso
(3) Verdadeiro
(4) Verdadeiro
(c) Falso
(2) Falso
(3) Verdadeiro
(4) Verdadeiro
(c) Falso