Considere a seguinte distribuição de frequência, representando os dados de uma amostra de tamanho n=50 :
Classe freq
10 \mid-20 3
20 \mid-30 10
30 \mid-40 16
40 \mid-50 12
50 \mid-60 6
60 \mid-70 3
a) Calcule a média e o desvio-padrão da amostra;
b) Construa um intervalo com 90 \% de confiança para a média;
c) Quais as suposições necessárias para a construção deste intervalo? Interprete o resultado.

Passo 1

O enunciado apresenta uma distribuição de frequência agrupada com n=50 observações e pede:
– (a) a média e o desvio‐padrão da amostra;
– (b) um intervalo de confiança de 90\% para a média;
– (c) as suposições necessárias e a interpretação.
Conteúdo: estatística descritiva de dados agrupados e intervalo de confiança para média com desvio desconhecido (t‐Student).

Passo 2

Calculamos os pontos médios m_i de cada classe e a soma \sum f_i m_i:
Classe   m_i f_i f_i m_i
10– 201534520 30251025030 40351656040 50451254050 6055633060 70653195
A soma é
\sum_{i}f_i m_i = 45 + 250 + 560 + 540 + 330 + 195 = 1920.
Logo a média amostral é
\bar{x} = \frac{1}{n}\sum_{i}f_i m_i = \frac{1920}{50} = 38{,}4.

Passo 3

Agora obtemos \sum f_i m_i^2:
\sum_i f_i m_i^2 = 3\cdot15^2 +10\cdot25^2 +16\cdot35^2 +12\cdot45^2 +6\cdot55^2 +3\cdot65^2 = 81\,650.
A variância amostral usa
s^2 = \frac{\sum_i f_i m_i^2 \;-\; n\,\bar x^2}{\,n-1\,} = \frac{81\,650 -50\cdot(38{,}4)^2}{49} = \frac{7\,922}{49} \approx 161{,}67,
portanto o desvio‐padrão amostral é
s = \sqrt{161{,}67}\approx12{,}72.

Passo 4

Para o intervalo de confiança de 90\% usamos a t‐Student com \nu = n-1 = 49. O valor crítico é
t_{0,05;49}\approx1{,}677.
A margem de erro vale
E = t_{0,05;49}\,\frac{s}{\sqrt{n}} \approx 1{,}677\;\frac{12{,}72}{\sqrt{50}} \approx3{,}02.
Logo o intervalo é
\bar x \pm E \;\Longrightarrow\; [\,38{,}4 - 3{,}02,\;38{,}4 + 3{,}02\,] = [\,35{,}38,\;41{,}42\,].

Passo 5

Suposições necessárias:
  1. Amostra aleatória simples e observações independentes.
  2. População com distribuição aproximadamente normal (ou n grande para valer o TCL).
Interpretação:
Temos 90\% de confiança de que o verdadeiro valor da média populacional \mu está entre 35{,}38 e 41{,}42.

Resposta

(a) \bar x = 38{,}4, s \approx 12{,}72.
(b) Intervalo de confiança de 90\%: [35{,}38,\;41{,}42].
(c) Suposições: amostra aleatória simples, independência, normalidade da população (ou n grande). Interpretação: com 90\% de confiança, \mu está neste intervalo.

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