A J. D. Powers and Associates fez uma pesquisa de usuários de telefones celulares a fim de saber quantos minutos eles usavam telefones celulares por mês (Associated Press, junho de 2002). Os minutos por mês relativos a uma amostra de 15 usuários de telefones celulares são mostradas a seguir:
615
135
395
430
830
1180
690
250
420
265
245
210
180
380
105
a) Qual é a média e mediana de minutos de uso por mês?
b) Qual é o
?
c) A J. D. Powers and Associates divulgou que a média dos planos de assinatura de telefones sem fio permite até 750 minutos de uso por mês. O que esses dados sugerem a respeito da utilização que os assinantes de telefones celulares fazem de seus planos de assinatura mensal?
| 615 | 135 | 395 |
| 430 | 830 | 1180 |
| 690 | 250 | 420 |
| 265 | 245 | 210 |
| 180 | 380 | 105 |
b) Qual é o
c) A J. D. Powers and Associates divulgou que a média dos planos de assinatura de telefones sem fio permite até 750 minutos de uso por mês. O que esses dados sugerem a respeito da utilização que os assinantes de telefones celulares fazem de seus planos de assinatura mensal?
Passo 1
O enunciado dá uma amostra com
observações dos minutos por mês usados por assinantes. Os dados são:
As perguntas são:
a) Calcular a média e a mediana dos minutos por mês.
b) Calcular o (percentil 85).
c) Interpretar esses dados em relação à afirmação de que os planos permitem até minutos por mês (o que os dados sugerem sobre o uso dos assinantes?).
a) Calcular a média e a mediana dos minutos por mês.
b) Calcular o
c) Interpretar esses dados em relação à afirmação de que os planos permitem até
Passo 2
Cálculo da média amostral: a média (aritmética) é a soma dos valores dividida pelo número de observações. A fórmula é
onde
é o tamanho da amostra e
são os valores observados. Aqui
.
Vou somar os valores em passos pequenos para não errar:
A soma total é
. Portanto
Interpretação rápida: a média é
minutos por mês. A média é sensível a valores extremos (por exemplo
e
puxam a média para cima).
Passo 3
Cálculo da mediana: a mediana é o valor central quando os dados estão ordenados. Primeiro ordeno os dados em ordem crescente (peguei os valores do enunciado e ordenei):
Como
é ímpar, a mediana é a observação na posição
. Assim a mediana é o
-º valor ordenado, que é
. Portanto a mediana é
minutos por mês.
Explicação didática: a mediana divide a amostra ao meio; metade dos assinantes usou menos de
minutos e metade usou mais de
.
Passo 4
Cálculo do
: um percentil
(aqui
) é o valor abaixo do qual se encontram
das observações. Uma maneira comum de localizar o percentil numa amostra é calcular a posição
Aqui
e
, logo
Isso significa que
está entre a
-ª e a
-ª observação ordenada, numa posição
(ou
) do caminho do
-º para o
-º valor. Da lista ordenada acima, o
-º valor é
e o
-º é
.
Interpolação linear entre esses dois valores:
Calculo dentro do parêntese:
. Então
Portanto
minutos (aproximação por interpolação linear).
Breve comentário didático: a interpolação é usada porque a posição
nem sempre cai exatamente numa observação inteira; aí faz-se uma “média ponderada” entre os vizinhos.
Passo 5
Verificação prática e interpretação numérica: contar quantos assinantes excedem
minutos. Da lista ordenada, os valores maiores que
são
e
, ou seja
observações em
. A proporção é
Nota: isso bate com o
, porque o percentil 85 indica que cerca de
das observações estão acima de
; aqui aproximadamente
estão acima de
, valor muito próximo.
Interpretação global para a pergunta (c): a média amostral (
) e a mediana (
) são bem menores que
. Só uma pequena fração (aproximadamente
) dos usuários ultrapassou
minutos neste conjunto de dados. Além disso, como a média é maior que a mediana (
), a distribuição é assimétrica à direita — há alguns usuários com uso muito alto (por exemplo
e
) que aumentam a média. Assim, os dados sugerem que o limite de
minutos cobre confortavelmente a maioria dos assinantes, embora exista um pequeno grupo de usuários que ultrapassa esse limite.
Passo 6
Resumo rápido de como resolver esse tipo de questão na prova:
- Para a média, some todos os dados e divida por
. - Para a mediana, ordene os dados; se
for ímpar pegue a posição ; se for par faça a média dos dois centrais. - Para percentis use a posição
e, se necessário, interpole linearmente entre os vizinhos. - Compare média, mediana e percentis para entender a forma da distribuição (assimetria, outliers) e responda qualitativamente perguntas como a do item (c).
Resposta
a) Média
minutos; Mediana
minutos.
b) minutos.
c) A maioria dos assinantes usa bem menos que minutos (média e mediana <
); apenas
em
(
) excederam
, indicando que o limite de
cobre a maior parte dos usuários, embora exista um pequeno grupo de uso muito alto.
b)
c) A maioria dos assinantes usa bem menos que