A J. D. Powers and Associates fez uma pesquisa de usuários de telefones celulares a fim de saber quantos minutos eles usavam telefones celulares por mês (Associated Press, junho de 2002). Os minutos por mês relativos a uma amostra de 15 usuários de telefones celulares são mostradas a seguir:
615 135 395
430 830 1180
690 250 420
265 245 210
180 380 105
a) Qual é a média e mediana de minutos de uso por mês?
b) Qual é o P_{85} ?
c) A J. D. Powers and Associates divulgou que a média dos planos de assinatura de telefones sem fio permite até 750 minutos de uso por mês. O que esses dados sugerem a respeito da utilização que os assinantes de telefones celulares fazem de seus planos de assinatura mensal?

Passo 1

O enunciado dá uma amostra com 15 observações dos minutos por mês usados por assinantes. Os dados são:
615,\\\ 135,\\\ 395,\\\ 430,\\\ 830,\\\ 1180,\\\ 690,\\\ 250,\\\ 420,\\\ 265,\\\ 245,\\\ 210,\\\ 180,\\\ 380,\\\ 105.
As perguntas são:
a) Calcular a média e a mediana dos minutos por mês.
b) Calcular o P_{85} (percentil 85).
c) Interpretar esses dados em relação à afirmação de que os planos permitem até 750 minutos por mês (o que os dados sugerem sobre o uso dos assinantes?).

Passo 2

Cálculo da média amostral: a média (aritmética) é a soma dos valores dividida pelo número de observações. A fórmula é
\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i,
onde n é o tamanho da amostra e x_i são os valores observados. Aqui n=15.
Vou somar os valores em passos pequenos para não errar:
\begin{aligned} 105+135&=240,\\\\ 240+180&=420,\\\\ 420+210&=630,\\\\ 630+245&=875,\\\\ 875+250&=1125,\\\\ 1125+265&=1390,\\\\ 1390+380&=1770,\\\\ 1770+395&=2165,\\\\ 2165+420&=2585,\\\\ 2585+430&=3015,\\\\ 3015+615&=3630,\\\\ 3630+690&=4320,\\\\ 4320+830&=5150,\\\\ 5150+1180&=6330. \end{aligned}
A soma total é \sum_{i=1}^{15} x_i = 6330. Portanto
\bar{x}=\frac{6330}{15}=422.
Interpretação rápida: a média é 422 minutos por mês. A média é sensível a valores extremos (por exemplo 1180 e 830 puxam a média para cima).

Passo 3

Cálculo da mediana: a mediana é o valor central quando os dados estão ordenados. Primeiro ordeno os dados em ordem crescente (peguei os valores do enunciado e ordenei):
105,\\\ 135,\\\ 180,\\\ 210,\\\ 245,\\\ 250,\\\ 265,\\\ 380,\\\ 395,\\\ 420,\\\ 430,\\\ 615,\\\ 690,\\\ 830,\\\ 1180.
Como n=15 é ímpar, a mediana é a observação na posição \dfrac{n+1}{2}=\dfrac{16}{2}=8. Assim a mediana é o 8-º valor ordenado, que é 380. Portanto a mediana é 380 minutos por mês.
Explicação didática: a mediana divide a amostra ao meio; metade dos assinantes usou menos de 380 minutos e metade usou mais de 380.

Passo 4

Cálculo do P_{85}: um percentil P_p (aqui p=85) é o valor abaixo do qual se encontram p\% das observações. Uma maneira comum de localizar o percentil numa amostra é calcular a posição
k = \frac{p}{100}(n+1).
Aqui p=85 e n=15, logo
k = 0{,}85\cdot(15+1)=0{,}85\cdot16=13{,}6.
Isso significa que P_{85} está entre a 13-ª e a 14-ª observação ordenada, numa posição 0{,}6 (ou 60\%) do caminho do 13-º para o 14-º valor. Da lista ordenada acima, o 13-º valor é 690 e o 14-º é 830.
Interpolação linear entre esses dois valores:
P_{85} = x_{13} + 0{,}6\,(x_{14}-x_{13}) = 690 + 0{,}6\,(830-690).
Calculo dentro do parêntese: 830-690=140. Então
P_{85} = 690 + 0{,}6\cdot140 = 690 + 84 = 774.
Portanto P_{85}=774 minutos (aproximação por interpolação linear).
Breve comentário didático: a interpolação é usada porque a posição k nem sempre cai exatamente numa observação inteira; aí faz-se uma “média ponderada” entre os vizinhos.

Passo 5

Verificação prática e interpretação numérica: contar quantos assinantes excedem 750 minutos. Da lista ordenada, os valores maiores que 750 são 830 e 1180, ou seja 2 observações em 15. A proporção é
\frac{2}{15}\approx 0{,}1333\ldots\\ (=13{,}33\%).
Nota: isso bate com o P_{85}=774, porque o percentil 85 indica que cerca de 15\% das observações estão acima de 774; aqui aproximadamente 13{,}3\% estão acima de 750, valor muito próximo.
Interpretação global para a pergunta (c): a média amostral ( 422) e a mediana ( 380) são bem menores que 750. Só uma pequena fração (aproximadamente 13{,}3\%) dos usuários ultrapassou 750 minutos neste conjunto de dados. Além disso, como a média é maior que a mediana ( 422>380), a distribuição é assimétrica à direita — há alguns usuários com uso muito alto (por exemplo 830 e 1180) que aumentam a média. Assim, os dados sugerem que o limite de 750 minutos cobre confortavelmente a maioria dos assinantes, embora exista um pequeno grupo de usuários que ultrapassa esse limite.

Passo 6

Resumo rápido de como resolver esse tipo de questão na prova:
  • Para a média, some todos os dados e divida por n.
  • Para a mediana, ordene os dados; se n for ímpar pegue a posição (n+1)/2; se for par faça a média dos dois centrais.
  • Para percentis use a posição k=\dfrac{p}{100}(n+1) e, se necessário, interpole linearmente entre os vizinhos.
  • Compare média, mediana e percentis para entender a forma da distribuição (assimetria, outliers) e responda qualitativamente perguntas como a do item (c).

Resposta

a) Média =422 minutos; Mediana =380 minutos.
b) P_{85}=774 minutos.
c) A maioria dos assinantes usa bem menos que 750 minutos (média e mediana < 750); apenas 2 em 15 ( \approx13{,}3\%) excederam 750, indicando que o limite de 750 cobre a maior parte dos usuários, embora exista um pequeno grupo de uso muito alto.

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