Na distribuição gaussiana, temos que a probabilidade é dada por
\wp(x)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma^{2}}} e^{-\frac{\left(x-x_{0}\right)^{2}}{2 \sigma^{2}}}
Determine os seguintes observáveis:
(a) \bar{x}

Passo 1

O enunciado nos dá a distribuição normal com densidade
\wp(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^{2}}}\exp\Bigl[-\frac{(x-x_{0})^{2}}{2\sigma^{2}}\Bigr]
e pede para calcular a média, ou seja
\bar{x}=\int_{-\infty}^{\infty}x\,\wp(x)\,dx.

Passo 2

Escrevemos a média explicitamente:
\bar{x} =\int_{-\infty}^{\infty}x\,\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^{2}}}\exp\Bigl[-\frac{(x-x_{0})^{2}}{2\sigma^{2}}\Bigr]\,dx.
Para resolver esse integral, fazemos a mudança de variável
y = x - x_{0}, \quad x = y + x_{0}, \quad dy = dx,
e os limites continuam de -\infty a +\infty.

Passo 3

Substituindo na integral:
\bar{x} =\int_{-\infty}^{\infty}(y+x_{0}) \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^{2}}}\exp\Bigl[-\frac{y^{2}}{2\sigma^{2}}\Bigr]\,dy.
Separamos em duas parcelas:
\bar{x} =x_{0}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^{2}}}e^{-\frac{y^{2}}{2\sigma^{2}}}\,dy \;+\;\int_{-\infty}^{\infty}y\,\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^{2}}}e^{-\frac{y^{2}}{2\sigma^{2}}}\,dy.
A primeira integral é 1 (normalização da gaussiana) e a segunda é zero (integral ímpar sobre domínio simétrico). Logo
\bar{x}=x_{0}\cdot1 + 0 = x_{0}.

Resposta

\bar{x}=x_{0}.

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