Determine a forma da distribuição de probabilidades para o problema da caminhada aleatória considerando
e interprete os resultados para:
(a)
;
(b)
e
.
(a)
(b)
Passo 1
O enunciado trata de uma caminhada aleatória de
passos em que a cada passo a posição varia em
com probabilidade
ou em
com probabilidade
. O objetivo é encontrar a distribuição de probabilidade da posição final
e interpretar os casos (a)
e (b)
,
.
Passo 2
Vamos modelar
e
Chamando de
), temos
e o número de passos à esquerda é
.
Passo 3
A probabilidade de ocorrer exatamente
passos à direita e
à esquerda é dada pela binomial. Logo, se
, então
Passo 4
Em particular, para
a forma geral da distribuição é
onde
percorre
. A média e variância de
são
Passo 5
Caso (a):
.
Nesse caso
Nesse caso
A distribuição é simétrica em torno de zero (binomial com
) e o modo ocorre em
. Por exemplo,
Passo 6
Caso (b):
,
.
Aqui
Aqui
A distribuição fica deslocada para a direita, com média em
e levemente assimétrica para valores positivos. O modo é dado por
ou
, isto é,
, correspondendo a
. Por exemplo,
Resposta
A distribuição da posição final
é
(a) Para
a distribuição é simétrica em torno de
, com
e
.
(b) Para ,
a distribuição é deslocada para a direita, com
,
e moda em
.
(b) Para