Determine a forma da distribuição de probabilidades para o problema da caminhada aleatória considerando N=20 e interprete os resultados para:
(a) p=q=1 / 2;
(b) p=0,6 e q=0,4.

Passo 1

O enunciado trata de uma caminhada aleatória de N=20 passos em que a cada passo a posição varia em +1 com probabilidade p ou em -1 com probabilidade q=1-p. O objetivo é encontrar a distribuição de probabilidade da posição final X_{20} e interpretar os casos (a) p=q=\tfrac12 e (b) p=0,6, q=0,4.

Passo 2

Vamos modelar X_{20}\) como soma de variáveis indicadoras. Definimos uma sequência de variáveis independentes \(S_i\) com \[S_i = \begin{cases} +1, & \text{com probabilidade }p,\\\\ -1, & \text{com probabilidade }q, \end{cases}
e
X_{20} = \sum_{i=1}^{20} S_i.
Chamando de m\] o número de passos para a direita (casos em que \(S_i=+1), temos m\in\{0,1,\dots,20\} e o número de passos à esquerda é 20-m.

Passo 3

A probabilidade de ocorrer exatamente m passos à direita e 20-m à esquerda é dada pela binomial. Logo, se X_{20}=2m-20, então
P\bigl(X_{20}=2m-20\bigr) = \binom{20}{m}\;p^{m}\;q^{\,20-m}, \quad m=0,1,\dots,20.

Passo 4

Em particular, para N=20 a forma geral da distribuição é
P\bigl(X_{20}=x\bigr) = \binom{20}{\frac{x+20}{2}}\;p^{\frac{x+20}{2}}\;q^{20-\frac{x+20}{2}},
onde x percorre -20,-18,\dots,18,20. A média e variância de X_{20} são
\mu = E[X_{20}] = 20\,(p-q), \quad \sigma^2 = \mathrm{Var}(X_{20}) = 4\cdot20\,p\,q.

Passo 5

Caso (a): p=q=\tfrac12.
Nesse caso
\mu = 20\,(0{,}5-0{,}5)=0, \quad \sigma^2 = 4\cdot20\cdot\tfrac12\cdot\tfrac12=20.
A distribuição é simétrica em torno de zero (binomial com p=0{,}5) e o modo ocorre em x=0. Por exemplo,
P(X_{20}=0)=\binom{20}{10}\bigl(\tfrac12\bigr)^{20}\approx0{,}176.

Passo 6

Caso (b): p=0,6, q=0,4.
Aqui
\mu = 20\,(0{,}6-0{,}4)=4, \quad \sigma^2 = 4\cdot20\cdot0{,}6\cdot0{,}4=19{,}2.
A distribuição fica deslocada para a direita, com média em x=4 e levemente assimétrica para valores positivos. O modo é dado por m=\lfloor(p)\,20\rfloor ou \lceil(p)\,20\rceil, isto é, m=12, correspondendo a x=2\cdot12-20=4. Por exemplo,
P(X_{20}=4)=\binom{20}{12}\,(0{,}6)^{12}\,(0{,}4)^{8}\approx0{,}184.

Resposta

A distribuição da posição final X_{20} é
P\bigl(X_{20}=2m-20\bigr) = \binom{20}{m}\,p^{m}\,q^{20-m}, \quad m=0,1,\dots,20.
(a) Para p=q=\tfrac12 a distribuição é simétrica em torno de 0, com \mu=0 e \sigma^2=20.
(b) Para p=0{,}6, q=0{,}4 a distribuição é deslocada para a direita, com \mu=4, \sigma^2=19{,}2 e moda em x=4.

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