Considere a seguinte EDO:
\frac{d y}{d x}=3 y+5 x^{2}+4
Encontre a reta que tangencia a solução dessa EDO que passa no ponto \mathrm{P}=(5,2)
Coloque sua resposta aqui: y= \square x+ \square

Passo 1

O enunciado dá a EDO \frac{dy}{dx}=3y+5x^2+4 e pede a reta tangente à solução que passa em P=(5,2). A ideia é usar o fato de que o coeficiente angular da reta tangente num ponto de uma curva é justamente o valor de \frac{dy}{dx} naquele ponto.

Passo 2

Da EDO temos o declive geral
\frac{dy}{dx} = 3y + 5x^2 + 4.

Passo 3

Avaliando em x=5, y=2:
m = 3\cdot 2 + 5\cdot 5^2 + 4 = 6 + 125 + 4 = 135.

Passo 4

Usamos a forma ponto-declive da reta tangente:
y - y_0 = m(x - x_0),
onde (x_0,y_0)=(5,2). Assim,
y - 2 = 135(x - 5).
Expandindo e isolando y:
y = 135x - 675 + 2 = 135x - 673.

Resposta

y = 135x - 673

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